Utilize as regras de derivação anterior para calcular a derivada de:
f(x)=e^{\operatorname{sen}\left(x^{2}+2 x\right)}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=e^{\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+2x\bigr)}.
Aqui temos uma composição de três funções: o polinômio x^{2}+2x, depois o seno e depois a exponencial. Para derivar, vamos usar a regra da cadeia encadeada: a derivada da exponencial é ela mesma vezes a derivada do seu expoente, a derivada do seno é o cosseno vezes a derivada do seu argumento, e a derivada do polinômio é direta.

Passo 2

Definimos funções auxiliares para organizar a cadeia:
v(x)=x^{2}+2x, \qquad u(x)=\operatorname{sen}\bigl(v(x)\bigr), \qquad f(x)=e^{u(x)}.
Pela regra da cadeia,
f'(x)=e^{u(x)}\;u'(x).

Passo 3

Agora aplicamos a cadeia em u(x)=\operatorname{sen}(v(x)). A derivada do seno é o cosseno vezes a derivada do argumento, ou seja,
u'(x)=\cos\bigl(v(x)\bigr)\;v'(x).
Como
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+2x\bigr)=2x+2,
segue
u'(x)=\cos\bigl(x^{2}+2x\bigr)\,(2x+2).

Passo 4

Substituímos u'(x) em f'(x)=e^{u(x)}\,u'(x):
f'(x) = e^{\operatorname{sen}(x^{2}+2x)}\;\bigl[\cos(x^{2}+2x)\,(2x+2)\bigr] = (2x+2)\,e^{\operatorname{sen}(x^{2}+2x)}\,\cos(x^{2}+2x).

Resposta

f'(x) = (2x+2)\,e^{\operatorname{sen}(x^{2}+2x)}\,\cos(x^{2}+2x).

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