Utilize o significado geométrico da integral para concluir que:
(a) integrala^b C d x=C(b-a), em que C é uma constante.
(b) integrala^c f(x) d x+integralc^b f(x) d x=integrala^b f(x) d x.
© integrala^a f(x) d x=0.
(d) Se f é uma função ímpar e integrável, então integral-a^a f(x) d x=0.
(e) Se f é uma função par e integrável, então integral-a^a f(x) d x=2 integral0^a f(x).

Passo 1

O enunciado pede para usar a interpretação geométrica da integral definida (como área sob a curva) e concluir cinco propriedades básicas: integral de constante, aditividade de intervalos, integral sobre intervalo de comprimento zero, e simetrias para funções ímpares e pares.

Passo 2

Para (a), note que a integral de uma função constante C de a até b corresponde à área de um retângulo de base b - a e altura C. Logo,
integrala^b C,dx = C,(b - a)

Passo 3

Para (b), ao dividir o intervalo [a,b] em [a,c] e [c,b], a área total sob f(x) em [a,b] é a soma das áreas em [a,c] e em [c,b]. Assim,
integrala^c f(x),dx + integralc^b f(x),dx = integrala^b f(x),dx

Passo 4

Para ©, se os limites de integração coincidem ( a = a), o intervalo não tem largura, logo a área é zero:
integrala^a f(x),dx = 0

Passo 5

Para (d), se f é ímpar, ou seja f(-x) = -f(x), as áreas em [-a,0] e [0,a] se cancelam mutuamente, resultando em
integral-a^a f(x),dx = 0

Passo 6

Para (e), se f é par, ou seja f(-x) = f(x), as áreas em [-a,0] e [0,a] são iguais, então a área total é o dobro da metade positiva:
integral-a^a f(x),dx = 2integral0^a f(x),dx

Resposta

(a) integrala^b C,dx = C(b-a)
(b) integrala^c f(x),dx + integralc^b f(x),dx = integrala^b f(x),dx
© integrala^a f(x),dx = 0
(d) Se f é ímpar, integral-a^a f(x),dx = 0
(e) Se f é par, integral-a^a f(x),dx = 2integral0^a f(x),dx

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