Utilize o significado geométrico da integral para concluir que:
(a)
, em que
é uma constante.
(b)
.
©
.
(d) Se
é uma função ímpar e integrável, então
.
(e) Se
é uma função par e integrável, então
.
(a)
(b)
©
(d) Se
(e) Se
Passo 1
O enunciado pede para usar a interpretação geométrica da integral definida (como área sob a curva) e concluir cinco propriedades básicas: integral de constante, aditividade de intervalos, integral sobre intervalo de comprimento zero, e simetrias para funções ímpares e pares.
Passo 2
Para (a), note que a integral de uma função constante
de
até
corresponde à área de um retângulo de base
e altura
. Logo,
Passo 3
Para (b), ao dividir o intervalo
em
e
, a área total sob
em
é a soma das áreas em
e em
. Assim,
Passo 4
Para ©, se os limites de integração coincidem (
), o intervalo não tem largura, logo a área é zero:
Passo 5
Para (d), se
é ímpar, ou seja
, as áreas em
e
se cancelam mutuamente, resultando em
Passo 6
Para (e), se
é par, ou seja
, as áreas em
e
são iguais, então a área total é o dobro da metade positiva:
Resposta
(a)
(b)
©
(d) Se é ímpar,
(e) Se é par,
(b)
©
(d) Se
(e) Se