1. sumk=2^infty(-1)^k+1 kln k

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série alternada sumk=2^infty(-1)^k+1dfrackln k. O conteúdo principal é teste de convergência de séries infinitas, e vamos precisar usar o teste da divergência (ou teste do termo geral).

Passo 2

Para que qualquer série sum ak convirja (mesmo que condicionalmente), é necessário que limktoinftyak = 0. Caso esse limite não seja zero, a série diverge automaticamente.

Passo 3

Identificamos o termo geral ak = (-1)^k+1dfrackln k. Para aplicar o teste da divergência, vamos calcular limktoinftyak. Como (-1)^k+1 oscila entre pm1, basta analisar bk = dfrackln k.
Calculemos o limite de bk:
limktoinftykln k = infty

Passo 4

Como bktoinfty, o termo geral ak não tende a zero (ele oscila entre valores de módulo crescente). Pelo teste da divergência, a série não pode convergir.
Portanto, a série diverge.

Resposta

A série diverge, pois o termo geral não tende a zero.

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