Utilize o tableau semântico para verificar a validade das seguintes formas de argumento.
  1. \mathrm{C} \rightarrow \mathrm{M}
  2. C
  3. \therefore \mathrm{M}

Passo 1

O enunciado dá duas premissas e pede que verifiquemos se a conclusão segue logicamente delas. As fórmulas são:
1.\\ \; C \rightarrow M
2.\\ \; C
Pergunta pedida: a partir de \,C \rightarrow M e de \,C podemos concluir \,M ? Ou seja, o argumento formado por essas duas premissas e a conclusão \,M é válido?

Passo 2

Antes de começar a construir o tableau, vamos entender o procedimento passo a passo (a explicação aqui é didática — é o “manualzinho” para usar o tableau na prova).
  • Ideia do tableau semântico para testar validade: assumimos que todas as premissas são verdadeiras e que a conclusão é falsa. Se essa suposição levar a uma contradição em todas as ramificações do tableau, então não existe modelo (interpretação) que torne as premissas verdadeiras e a conclusão falsa; isso significa que o argumento é válido. Se alguma ramificação permanecer sem contradição (aberta), então existe um modelo que satisfaz as premissas e falsifica a conclusão, logo o argumento é inválido.
  • Notação de assinaturas: quando colocamos um sinal [,T) junto a uma fórmula, queremos dizer “essa fórmula é verdadeira”; quando colocamos \,F queremos dizer “essa fórmula é falsa”. Ex.: \,T\text{(C)} significa “a proposição C é verdadeira” e \,F(M) significa “a proposição M é falsa”.
  • Regra de fechamento (contradição): se em uma mesma ramificação aparecerem tanto \,T(P) quanto \,F(P) para a mesma proposição atômica P, essa ramificação fecha — é uma contradição.
  • Regra para a implicação quando ela é tomada como verdadeira: se temos \,T(A \rightarrow B), então, logicamente, ou A é falsa ou B é verdadeira. No tableau isso gera uma ramificação (duas possibilidades): uma ramificação recebe \,F(A) e a outra ramificação recebe \,T(B). Em notação:
T(A \rightarrow B) \;\; \leadsto \;\; \begin{cases} \text{ramo 1: } F(A)\\[2pt] \text{ramo 2: } T(B) \end{cases}
Essa é a regra que vamos aplicar para (,T(C \rightarrow M)].]

Passo 3

Montamos a linha inicial do tableau seguindo a regra de teste de validade: colocamos todas as premissas como verdadeiras e a negação da conclusão (ou, equivalentemente, a conclusão como falsa). Aqui a conclusão é \,M, então colocamos \,F(M).
Inicialmente temos, portanto, as fórmulas assinadas:
T(C \rightarrow M)
T\text{(C)}
F(M)
Vou construir o tableau a partir dessas três fórmulas.

Passo 4

Aplicamos a regra de \,T para a implicação \,T(C \rightarrow M). Pela regra explicada no Passo 2, isso gera duas ramificações:
  • ramo A: adiciona \,F\text{(C)};
  • ramo B: adiciona \,T(M).
Escrevendo explicitamente cada ramificação com as outras fórmulas que já estavam na linha inicial:
Ramo A contém:
T\text{(C)} \quad , \quad F(M) \quad , \quad F\text{(C)}
Ramo B contém:
T\text{(C)} \quad , \quad F(M) \quad , \quad T(M)

Passo 5

Analisamos o Ramo A. Nele aparecem as assinaturas \,T\text{(C)} e \,F\text{(C)} simultaneamente. Isso é exatamente o critério de fechamento: ter \,T(P) e \,F(P) para a mesma atômica P fecha a ramificação. Aqui P é C.
Portanto o Ramo A fecha por contradição imediata.

Passo 6

Analisamos o Ramo B. Nele aparecem \,T(M) e \,F(M) simultaneamente. Novamente, isso é uma contradição (mesmo critério: \,T(P) e \,F(P) para a mesma atômica P). Aqui P é M.
Portanto o Ramo B também fecha por contradição imediata.

Passo 7

Como construímos todas as ramificações possíveis e cada ramificação fechou (Ramo A fechado e Ramo B fechado), o tableau está totalmente fechado. Pelo procedimento do tableau semântico, isso significa que não existe nenhuma interpretação que torne verdadeiras as premissas e falsa a conclusão. Consequentemente, o argumento é válido: as premissas logicamente implicam a conclusão.
Intuitivamente: essa é a regra do modus ponens traduzida no método do tableau. Se C\rightarrow M é verdadeira e C é verdadeira, então M tem de ser verdadeira — assumir M falsa produz contradição.

Resposta

Válido.

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