Utilize o tableau semântico para verificar a validade das seguintes formas de argumento.
-
- C
-
Passo 1
O enunciado dá duas premissas e pede que verifiquemos se a conclusão segue logicamente delas. As fórmulas são:
Pergunta pedida: a partir de
e de
podemos concluir
? Ou seja, o argumento formado por essas duas premissas e a conclusão
é válido?
Passo 2
Antes de começar a construir o tableau, vamos entender o procedimento passo a passo (a explicação aqui é didática — é o “manualzinho” para usar o tableau na prova).
-
Ideia do tableau semântico para testar validade: assumimos que todas as premissas são verdadeiras e que a conclusão é falsa. Se essa suposição levar a uma contradição em todas as ramificações do tableau, então não existe modelo (interpretação) que torne as premissas verdadeiras e a conclusão falsa; isso significa que o argumento é válido. Se alguma ramificação permanecer sem contradição (aberta), então existe um modelo que satisfaz as premissas e falsifica a conclusão, logo o argumento é inválido.
-
Notação de assinaturas: quando colocamos um sinal [,T) junto a uma fórmula, queremos dizer “essa fórmula é verdadeira”; quando colocamos
queremos dizer “essa fórmula é falsa”. Ex.: significa “a proposição é verdadeira” e significa “a proposição é falsa”. -
Regra de fechamento (contradição): se em uma mesma ramificação aparecerem tanto
quanto para a mesma proposição atômica , essa ramificação fecha — é uma contradição. -
Regra para a implicação quando ela é tomada como verdadeira: se temos
, então, logicamente, ou é falsa ou é verdadeira. No tableau isso gera uma ramificação (duas possibilidades): uma ramificação recebe e a outra ramificação recebe . Em notação:
Essa é a regra que vamos aplicar para (,T(C \rightarrow M)].]
Passo 3
Montamos a linha inicial do tableau seguindo a regra de teste de validade: colocamos todas as premissas como verdadeiras e a negação da conclusão (ou, equivalentemente, a conclusão como falsa). Aqui a conclusão é
, então colocamos
.
Inicialmente temos, portanto, as fórmulas assinadas:
Vou construir o tableau a partir dessas três fórmulas.
Passo 4
Aplicamos a regra de
para a implicação
. Pela regra explicada no Passo 2, isso gera duas ramificações:
- ramo A: adiciona
; - ramo B: adiciona
.
Escrevendo explicitamente cada ramificação com as outras fórmulas que já estavam na linha inicial:
Ramo A contém:
Ramo B contém:
Passo 5
Analisamos o Ramo A. Nele aparecem as assinaturas
e
simultaneamente. Isso é exatamente o critério de fechamento: ter
e
para a mesma atômica
fecha a ramificação. Aqui
é
.
Portanto o Ramo A fecha por contradição imediata.
Passo 6
Analisamos o Ramo B. Nele aparecem
e
simultaneamente. Novamente, isso é uma contradição (mesmo critério:
e
para a mesma atômica
). Aqui
é
.
Portanto o Ramo B também fecha por contradição imediata.
Passo 7
Como construímos todas as ramificações possíveis e cada ramificação fechou (Ramo A fechado e Ramo B fechado), o tableau está totalmente fechado. Pelo procedimento do tableau semântico, isso significa que não existe nenhuma interpretação que torne verdadeiras as premissas e falsa a conclusão. Consequentemente, o argumento é válido: as premissas logicamente implicam a conclusão.
Intuitivamente: essa é a regra do modus ponens traduzida no método do tableau. Se
é verdadeira e
é verdadeira, então
tem de ser verdadeira — assumir
falsa produz contradição.
Resposta
Válido.