Utilize o Teorema da Convolução para encontrar a Transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede a Transformada de Laplace de
f(t)=∫₀ᵗ e^{-(t–τ)}·sen τ dτ usando o Teorema da Convolução. O conteúdo aqui é justamente o Teorema da Convolução de Laplace, que diz que a transformada de uma convolução f=g*h é o produto das transformadas G(s)·H(s).
f(t)=∫₀ᵗ e^{-(t–τ)}·sen τ dτ usando o Teorema da Convolução. O conteúdo aqui é justamente o Teorema da Convolução de Laplace, que diz que a transformada de uma convolução f=g*h é o produto das transformadas G(s)·H(s).
Passo 2
Repare que podemos escrever
f(t)=(g*h)(t)
com
g(t)=e^{-t}
e
h(t)=sen t.
Isso significa que f é a convolução de g com h.
f(t)=(g*h)(t)
com
g(t)=e^{-t}
e
h(t)=sen t.
Isso significa que f é a convolução de g com h.
Passo 3
Agora calculamos separadamente as transformadas:
A Transformada de Laplace de g(t)=e^{-t} é
g(s)=ℒ{e^{-t}}=
A Transformada de Laplace de g(t)=e^{-t} é
g(s)=ℒ{e^{-t}}=
A Transformada de Laplace de h(t)=sen t é
h(s)=ℒ{sen t}=
Passo 4
Pelo Teorema da Convolução temos
Substituindo G(s) e H(s) obtemos