Utilize o Teorema da Convolução para encontrar a Transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções:
f(t)=integral0^t e^-(t-tau) sen tau d tau

Passo 1

O enunciado pede a Transformada de Laplace de
f(t)=∫₀ᵗ e^{-(t–τ)}·sen τ dτ usando o Teorema da Convolução. O conteúdo aqui é justamente o Teorema da Convolução de Laplace, que diz que a transformada de uma convolução f=g*h é o produto das transformadas G(s)·H(s).

Passo 2

Repare que podemos escrever
f(t)=(g*h)(t)
com
g(t)=e^{-t}
e
h(t)=sen t.
Isso significa que f é a convolução de g com h.

Passo 3

Agora calculamos separadamente as transformadas:
A Transformada de Laplace de g(t)=e^{-t} é
g(s)=ℒ{e^{-t}}=
1s+1
A Transformada de Laplace de h(t)=sen t é
h(s)=ℒ{sen t}=
1s^2+1

Passo 4

Pelo Teorema da Convolução temos
F(s)=ℒf(t)=ℒg*h=G(s)·H(s)
Substituindo G(s) e H(s) obtemos
F(s)=1s+1cdot1s^2+1=1(s+1)(s^2+1)

Resposta

F(s)=dfrac1(s+1)(s^2+1)

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