Utilize o teorema da divergência para encontrar o fluxo exterior de \mathbf{F} através da fronteira da região D.
\mathbf{F}=x^{2} \mathbf{i}+y^{2} \mathbf{j}+z^{2} \mathbf{k}
Cubo D : O cubo cortado do primeiro octante pelos pla \operatorname{nos} x=1, y=1 \mathrm{e} z=1.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \mathbf{F}=x^{2}\mathbf{i}+y^{2}\mathbf{j}+z^{2}\mathbf{k} saindo pela superfície do cubo D definido por
0\le x\le1,\quad 0\le y\le1,\quad 0\le z\le1.
O método indicado é o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de \mathbf{F} pela fronteira de D com a integral tripla da divergência de \mathbf{F} sobre D.

Passo 2

Calculamos a divergência de \mathbf{F}. Por definição,
\nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}(x^2) +\frac{\partial}{\partial y}(y^2) +\frac{\partial}{\partial z}(z^2) =2x+2y+2z.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo de \mathbf{F} para fora de \partial D é
\iint_{\partial D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =\iiint_{D}(\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV =\iiint_{D}(2x+2y+2z)\,dV.

Passo 4

Como D é o cubo unitário, podemos separar a integral:
\iiint_{D}2x\,dV +\iiint_{D}2y\,dV +\iiint_{D}2z\,dV.
Cada uma delas factoriza:
\iiint_{D}2x\,dV =2\int_{0}^{1}x\,dx\int_{0}^{1}dy\int_{0}^{1}dz =2\Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{1}\cdot1\cdot1 =1.
Pela simetria, as outras duas também valem 1. Somando,
1+1+1=3.

Resposta

O fluxo exterior de \mathbf{F} através de \partial D é 3.

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