- Seja
uma região no plano
que é limitada por uma curva
fechada, simples e lisa por partes e suponha que os momentos de inércia de
em torno do eixos
e
sejam conhecidos como sendo
e
. Calcule a integral
onde
, em termos de
e
.
Passo 1
O enunciado pede o valor da linha integral
onde
e
é a fronteira de uma região
.
Os dados conhecidos são os momentos de inércia
Os dados conhecidos são os momentos de inércia
Para resolver, vamos usar o Teorema da Divergência no plano, que diz
Passo 2
Calculamos primeiro o gradiente de
. Observando que
temos
Passo 3
Agora calculamos a divergência desse campo:
Como
e
, vem
logo
Passo 4
Aplicando o Teorema da Divergência, a integral de contorno vira integral dupla:
Passo 5
Separamos a integral em dois momentos de inércia:
Portanto