1. Seja R uma região no plano x y que é limitada por uma curva C fechada, simples e lisa por partes e suponha que os momentos de inércia de R em torno do eixos x e y sejam conhecidos como sendo I_{x} e I_{y}. Calcule a integral
\oint_{C} \nabla\left(r^{4}\right) \cdot \mathbf{n} d s,
onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, em termos de I_{x} e I_{y}.

Passo 1

O enunciado pede o valor da linha integral
\oint_{C}\nabla\bigl(r^{4}\bigr)\cdot\mathbf{n}\,ds
onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e C é a fronteira de uma região R.
Os dados conhecidos são os momentos de inércia
I_{x}=\iint_{R}y^{2}\,dA, \quad I_{y}=\iint_{R}x^{2}\,dA.
Para resolver, vamos usar o Teorema da Divergência no plano, que diz
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,ds = \iint_{R}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dA.

Passo 2

Calculamos primeiro o gradiente de r^{4}. Observando que
r^{4}=(x^{2}+y^{2})^{2},
temos
\nabla\bigl(r^{4}\bigr) = \nabla\bigl((x^{2}+y^{2})^{2}\bigr) =2(x^{2}+y^{2})\,\nabla(x^{2}+y^{2}) =2(x^{2}+y^{2})\,(2x,2y) =(4x\,(x^{2}+y^{2}),\,4y\,(x^{2}+y^{2})).

Passo 3

Agora calculamos a divergência desse campo:
\nabla\cdot\nabla\bigl(r^{4}\bigr) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(4x\,(x^{2}+y^{2})\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(4y\,(x^{2}+y^{2})\bigr).
Como \partial(x^{2}+y^{2})/\partial x=2x e \partial(x^{2}+y^{2})/\partial y=2y, vem
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(4x\,r^{2}\bigr) =4r^{2}+8x^{2}, \quad \frac{\partial}{\partial y}\bigl(4y\,r^{2}\bigr) =4r^{2}+8y^{2},
logo
\nabla\cdot\nabla\bigl(r^{4}\bigr) =(4r^{2}+8x^{2})+(4r^{2}+8y^{2}) =8r^{2}+8r^{2} =16r^{2}.

Passo 4

Aplicando o Teorema da Divergência, a integral de contorno vira integral dupla:
\oint_{C}\nabla\bigl(r^{4}\bigr)\cdot\mathbf{n}\,ds =\iint_{R}16\,r^{2}\,dA =16\iint_{R}(x^{2}+y^{2})\,dA.

Passo 5

Separamos a integral em dois momentos de inércia:
\iint_{R}(x^{2}+y^{2})\,dA =\iint_{R}x^{2}\,dA+\iint_{R}y^{2}\,dA =I_{y}+I_{x}.
Portanto
\oint_{C}\nabla\bigl(r^{4}\bigr)\cdot\mathbf{n}\,ds =16\,(I_{x}+I_{y}).

Resposta

16\,(I_{x}+I_{y}).

Exercícios relacionados