Utilize o teorema da divergência para encontrar o fluxo exterior de \mathbf{F} através da fronteira da região D.
\mathbf{F}=x^{2} \mathbf{i}+y^{2} \mathbf{j}+z^{2} \mathbf{k}
Lata cilíndrica D : A região cortada do cilindro sólido x^{2}+ y^{2} \leq 4 pelos planos z=0 e z=1.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo externo de \mathbf{F} através de \partial D, onde
\mathbf{F}(x,y,z) = x^2\,\mathbf{i} + y^2\,\mathbf{j} + z^2\,\mathbf{k}
e D é o cilindro sólido definido por
x^2 + y^2 \le 4,\quad 0 \le z \le 1.
Vamos usar o Teorema da Divergência, que diz que
\iint_{\partial D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iiint_{D}\bigl(\nabla\cdot\mathbf{F}\bigr)\,dV.

Passo 2

Calculamos a divergência de \mathbf{F}:
\nabla\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2) + \frac{\partial}{\partial y}(y^2) + \frac{\partial}{\partial z}(z^2) = 2x + 2y + 2z.

Passo 3

Para integrar em D é mais fácil usar coordenadas cilíndricas:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad r\in[0,2],\\ \theta\in[0,2\pi],\\ z\in[0,1],
onde o elemento de volume é dV = r\,dz\,dr\,d\theta. Logo
\iiint_{D}(2x+2y+2z)\,dV = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2}\!\int_{0}^{1} \bigl(2r\cos\theta + 2r\sin\theta + 2z\bigr)\,r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

Notamos que
\int_{0}^{2\pi}r^2\cos\theta\,d\theta = 0, \quad \int_{0}^{2\pi}r^2\sin\theta\,d\theta = 0
porque os integrais de \cos\theta e \sin\theta sobre um período inteiro se anulam. Sobram só os termos com 2z.

Passo 5

Fica então
\iiint_{D}(2x+2y+2z)\,dV = \int_{0}^{2\pi}\!d\theta \int_{0}^{2}\!r\,dr \int_{0}^{1}2z\,dz.
Calculamos cada parte:
\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi, \quad \int_{0}^{2}r\,dr = \Bigl[\tfrac{r^2}{2}\Bigr]_{0}^{2} = 2, \quad \int_{0}^{1}2z\,dz = \bigl[z^2\bigr]_{0}^{1} = 1.
Multiplicando tudo:
2\pi \times 2 \times 1 = 4\pi.

Resposta

O fluxo exterior de \mathbf{F} através de \partial D é 4\pi.

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