Utilize o teorema da divergência para encontrar o fluxo exterior de \mathbf{F} através da fronteira da região D.
9. Parte da esfera \mathbf{F}=x^{2} \mathbf{i}-2 x y \mathbf{j}+3 x z \mathbf{k} D : A região cortada do primeiro octante pela esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo exterior de \mathbf{F}=x^{2}\mathbf{i}-2xy\,\mathbf{j}+3xz\,\mathbf{k} através da fronteira de D, onde D é a parte do primeiro octante dentro da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.
Conteúdo: Teorema da divergência, que diz que
e os limites para o primeiro octante dentro da esfera de raio 2 são \rho\in[0,2], \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}], \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}].
Assim o integral fica