Utilize o teorema da divergência para encontrar o fluxo exterior de \mathbf{F} através da fronteira da região D.
9. Parte da esfera \mathbf{F}=x^{2} \mathbf{i}-2 x y \mathbf{j}+3 x z \mathbf{k}
D : A região cortada do primeiro octante pela esfera x^{2}+ y^{2}+z^{2}=4.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo exterior de \mathbf{F}=x^{2}\mathbf{i}-2xy\,\mathbf{j}+3xz\,\mathbf{k} através da fronteira de D, onde D é a parte do primeiro octante dentro da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.
Conteúdo: Teorema da divergência, que diz que
\iint_{\partial D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =\iiint_{D}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV.
Para resolver, vamos (1) calcular \nabla\cdot\mathbf{F} e (2) avaliar o integral triplo sobre D, usando coordenadas esféricas.

Passo 2

Calcular a divergência de \mathbf{F}:
\nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}) +\frac{\partial}{\partial y}(-2xy) +\frac{\partial}{\partial z}(3xz) =2x-2x+3x=3x.

Passo 3

Pelo Teorema da divergência, o fluxo procurado vale
\iint_{\partial D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =\iiint_{D}3x\,dV.

Passo 4

Em coordenadas esféricas definimos
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta,
e os limites para o primeiro octante dentro da esfera de raio 2 são \rho\in[0,2], \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}], \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}].
Assim o integral fica
\iiint_{D}3x\,dV =3\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\!\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\!\int_{0}^{2} (\rho\sin\varphi\cos\theta)\, (\rho^{2}\sin\varphi)\,d\rho\,d\varphi\,d\theta =3\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\!\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\!\int_{0}^{2} \rho^{3}\sin^{2}\!\varphi\cos\theta \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 5

Calcular em etapas:
  1. Integral em \rho:
\int_{0}^{2}\rho^{3}\,d\rho =\frac{\rho^{4}}{4}\Big|_{0}^{2}=4.
  1. Integral em \varphi:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2}\!\varphi\,d\varphi =\frac{\pi}{4}.
  1. Integral em \theta:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos\theta\,d\theta=1.
Multiplicando tudo:
3\times 4\times\frac{\pi}{4}\times1 =3\pi.

Resposta

O fluxo exterior de \mathbf{F} através da fronteira de D é 3\pi.

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