Utilize o teste da comparação para estabelecer a convergência ou não das seguintes séries:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para analisar se a série
converge ou não, usando o teste da comparação. Esse teste faz parte do estudo de séries infinitas na matemática, onde comparamos a série em questão com outra que já sabemos se converge ou diverge. Para resolver isso, vamos precisar entender como comparar termos de séries e aplicar o teste da comparação corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada geral na série que temos:
. Nosso objetivo é descobrir se essa soma de infinitos termos vai dar um número finito (converge) ou crescer sem limite (diverge).
Passo 3
Vamos analisar o denominador da fração:
. Para valores grandes de
, o termo com a maior potência de
vai dominar. Aqui,
cresce mais rápido que
, então podemos dizer que para
grande,
é aproximadamente igual a
.
Passo 4
Com base nisso, podemos comparar nossa série original com a série mais simples
, que é uma série p com
. Sabemos que uma série p converge se
e diverge se
. Como
é menor que 1, a série
diverge.
Passo 5
Agora, usando o teste da comparação, comparamos os termos das duas séries:
Isso porque
, então o inverso dos dois lados inverte a desigualdade. Como
também diverge (é apenas uma constante vezes uma série divergente), pelo teste da comparação, nossa série original também diverge.
Resposta
A série
diverge.