Utilize o teste da comparação para estabelecer a convergência ou não das seguintes séries:
sumn=1^infty 1n^1 / 2+n^1 / 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para analisar se a série sumn=1^infty 1n^1/2 + n^1/3 converge ou não, usando o teste da comparação. Esse teste faz parte do estudo de séries infinitas na matemática, onde comparamos a série em questão com outra que já sabemos se converge ou diverge. Para resolver isso, vamos precisar entender como comparar termos de séries e aplicar o teste da comparação corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada geral na série que temos: sumn=1^infty 1n^1/2 + n^1/3. Nosso objetivo é descobrir se essa soma de infinitos termos vai dar um número finito (converge) ou crescer sem limite (diverge).

Passo 3

Vamos analisar o denominador da fração: n^1/2 + n^1/3. Para valores grandes de , o termo com a maior potência de vai dominar. Aqui, cresce mais rápido que , então podemos dizer que para grande, é aproximadamente igual a .

Passo 4

Com base nisso, podemos comparar nossa série original com a série mais simples , que é uma série p com . Sabemos que uma série p converge se e diverge se . Como é menor que 1, a série diverge.

Passo 5

Agora, usando o teste da comparação, comparamos os termos das duas séries:
1n^1/2 + n^1/3 >= 12n^1/2
Isso porque , então o inverso dos dois lados inverte a desigualdade. Como também diverge (é apenas uma constante vezes uma série divergente), pelo teste da comparação, nossa série original também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty 1n^1/2 + n^1/3 diverge.

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