Utilize o Teste da Divergência para verificar o comportamento das séries abaixo. Justifique sua resposta.
\sum_{n=1}^{\infty} n \cdot \sin \left(\frac{1}{n}\right)

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teste da Divergência na série
\sum_{n=1}^{\infty} n \,\sin\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr).
O conteúdo é o Teste da Divergência, que exige calcular \lim_{n\to\infty} a_n
onde a_n = n\,\sin\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr).

Passo 2

Recordando o Teste da Divergência: se
\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0,
então a série \sum a_n diverge.

Passo 3

Vamos calcular
\lim_{n\to\infty} n\,\sin\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr).
Como sabemos que
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1,
fazendo x = \tfrac{1}{n} obtemos
\lim_{n\to\infty}n\,\sin\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr) = \lim_{n\to\infty}\frac{\sin(1/n)}{1/n} =1.

Passo 4

Como \lim_{n\to\infty}a_n = 1\neq 0, pelo Teste da Divergência a série não pode convergir.

Resposta

A série diverge, pois o termo geral n\sin(1/n) não tende a zero.

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