Mostre que a sequência das somas parciais da série
é convergente, provando que ela é monótona e limitada. (Dica: Para mostrar que é limitada, compare a soma com uma integral apropriada ou use uma argumentação visual).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a sequência das somas parciais
é convergente, provando que
é monótona e limitada. Vamos usar dois fatos simples: (i) cada termo
é positivo, e (ii) podemos comparar a soma de
com a integral de
.
Passo 2
Mostrando que
é monótona crescente.
Como para todo temos
, basta observar
Como para todo
Logo
é estritamente crescente.
Passo 3
Mostrando que
é limitada superiormente.
Para isso usamos comparação com a integral de uma função decrescente:
em cada intervalo (para
) vale
Para isso usamos comparação com a integral de uma função decrescente:
em cada intervalo
pois
é decrescente. Somando essa desigualdade de
até
dá
Então
Portanto todos os
ficam abaixo de
, ou seja,
é limitada superiormente por
.
Resposta
A sequência
das somas parciais da série
é monótona crescente e limitada acima por
. Pelo teorema da convergência de sequências monótonas e limitadas, concluímos que
converge.