Mostre que a sequência das somas parciais da série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} é convergente, provando que ela é monótona e limitada. (Dica: Para mostrar que é limitada, compare a soma com uma integral apropriada ou use uma argumentação visual).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a sequência das somas parciais
s_N = \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n^{2}}
é convergente, provando que (s_N) é monótona e limitada. Vamos usar dois fatos simples: (i) cada termo \tfrac1{n^2} é positivo, e (ii) podemos comparar a soma de \tfrac1{n^2} com a integral de 1/x^2.

Passo 2

Mostrando que (s_N) é monótona crescente.
Como para todo n temos \tfrac1{(n+1)^2}>0, basta observar
s_{N+1} \;=\; s_N + \frac{1}{(N+1)^2} \;>\; s_N.
Logo (s_N) é estritamente crescente.

Passo 3

Mostrando que (s_N) é limitada superiormente.
Para isso usamos comparação com a integral de uma função decrescente:
em cada intervalo [n,n+1] (para n\ge1) vale
\frac{1}{(n+1)^2} \;\le\; \int_{n}^{n+1} \frac{1}{x^2}\,dx,
pois x\mapsto1/x^2 é decrescente. Somando essa desigualdade de n=1 até n=N
\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{(n+1)^2} \;\le\;\int_{1}^{N+1}\frac{1}{x^2}\,dx \;=\;\Bigl[-\tfrac1x\Bigr]_{1}^{N+1} \;=\;1-\frac{1}{N+1}.
Então
s_N = \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^2} =1+\sum_{n=1}^{N-1}\frac{1}{(n+1)^2} \;\le\;1+\Bigl(1-\frac{1}{N}\Bigr) =2-\frac{1}{N} <2.
Portanto todos os s_N ficam abaixo de 2, ou seja, (s_N) é limitada superiormente por 2.

Resposta

A sequência \bigl(s_N\bigr) das somas parciais da série \sum_{n=1}^\infty1/n^2 é monótona crescente e limitada acima por 2. Pelo teorema da convergência de sequências monótonas e limitadas, concluímos que \bigl(s_N\bigr) converge.

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