Utilize o Teste da Razão para determinar se cada série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o Teste da Razão na série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\,n}{n!}
para determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo é teste de convergência de séries numéricas usando o Teste da Razão.

Passo 2

Definimos o termo geral
a_n = \frac{2\,n}{n!}.
O Teste da Razão afirma que, se
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
satisfaz L<1, então a série converge absolutamente (e, portanto, converge).

Passo 3

Calculamos primeiro
a_{n+1} = \frac{2\,(n+1)}{(n+1)!}.
Em seguida, a razão entre termos consecutivos é
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{2\,(n+1)}{(n+1)!}}{\frac{2\,n}{n!}} = \frac{n+1}{n}\;\frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n}.

Passo 4

Tomamos o limite da razão:
L = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} = 0.
Como L=0<1, a série converge absolutamente.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\,n}{n!} converge.

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