Utilize o Teste da Razão para determinar se cada série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+2}{3 n}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+2}{3\,n}
usando o Teste da Razão. Aqui o conteúdo é séries numéricas e teste da razão. Vamos precisar definir o termo geral \displaystyle a_n=\frac{n+2}{3n}
e calcular \displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\Bigl\lvert\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr\rvert.

Passo 2

Escrevemos a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{\frac{(n+1)+2}{3(n+1)}}{\frac{n+2}{3n}} =\frac{n+3}{3(n+1)}\;\cdot\;\frac{3n}{\,n+2\,} =\frac{n(n+3)}{(n+1)(n+2)}.

Passo 3

Calculamos o limite dessa razão:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{n(n+3)}{(n+1)(n+2)} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+3n}{n^2+3n+2} =1.

Passo 4

O Teste da Razão diz:
  • Se L<1, a série converge absolutamente;
  • Se L>1, a série diverge;
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
    Aqui L=1, então o Teste da Razão não decide.

Passo 5

Como o teste da razão falhou, usamos o Teste do Termo Geral:
\lim_{n\to\infty}a_n =\lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{3n} =\frac13\neq0.
Quando o termo geral não tende a zero, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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