utilize a transformada de Laplacepara resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas para y^{\prime \prime}+y= sent, y(0)=1, y^{\prime}(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por transformada de Laplace, a equação
y'' + y = \sin t
com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=-1. Vamos usar as propriedades \mathcal{L}\{y''\}(s)=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0) e \mathcal{L}\{y\}(s)=Y(s).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados:
\mathcal{L}\{y''\}(s) + \mathcal{L}\{y\}(s) = \mathcal{L}\{\sin t\}(s).
Substituindo as fórmulas e as condições iniciais,
\bigl(s^2Y(s)-s\cdot1-(-1)\bigr) + Y(s) = \frac{1}{s^2+1}.
Isso dá
(s^2+1)\,Y(s) -s +1 = \frac{1}{s^2+1}.

Passo 3

Isolando Y(s):
Y(s) = \frac{\displaystyle \frac{1}{s^2+1} + s - 1}{s^2+1} = \frac{s}{s^2+1} \;-\; \frac{1}{s^2+1} \;+\; \frac{1}{(s^2+1)^2}.

Passo 4

Invertendo termo a termo: \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{s}{s^2+1}\}= \cos t, \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^2+1}\}= \sin t, \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{(s^2+1)^2}\} = \tfrac12\bigl(\sin t - t\cos t\bigr).
Logo,
y(t) = \cos t \;-\;\sin t \;+\;\tfrac12\bigl(\sin t - t\cos t\bigr) = \cos t \;-\;\tfrac12\,\sin t \;-\;\tfrac12\,t\,\cos t.

Resposta

y(t) = \cos t \;-\;\tfrac12\,\sin t \;-\;\tfrac12\,t\,\cos t.

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