Indique se cada uma das seguintes redes é de Bravais. Se sim, escreva os vectores primitivos; se não, descreva-a como uma rede de Bravais com uma base:
Rede cúbica com pontos nos centros das faces horizontais;

Passo 1

O enunciado descreve uma rede que tem pontos em todas as vértices de um cubo de aresta a (rede cúbica simples) e, além disso, pontos extras no centro de cada face paralela ao plano xy (faces “horizontais”). O conteúdo aqui é identificar se esse conjunto de pontos forma uma rede de Bravais e, em caso afirmativo, encontrar vetores de rede primitivos.

Passo 2

Vamos escrever as posições dos pontos. Sejam n_1,n_2,n_3\in\mathbb{Z}.
  1. Pontos de vértice:
\bigl(n_{1}a,\;n_{2}a,\;n_{3}a\bigr).
  1. Pontos nos centros das faces horizontais (faces em z=\text{const}):
\bigl(n_{1}a + \tfrac{a}{2},\;n_{2}a + \tfrac{a}{2},\;n_{3}a\bigr).
Logo todo ponto da rede é ou da forma \bigl(n_{1},n_{2},n_{3}\bigr)a ou da forma \bigl(n_{1}+\tfrac12,\;n_{2}+\tfrac12,\;n_{3}\bigr)a.

Passo 3

Para testar se é rede de Bravais basta achar três vetores \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3 tais que toda posição acima seja um inteiro linear desses vetores. Propomos
\mathbf{a}_{1} = \bigl(\tfrac{a}{2},\,\tfrac{a}{2},\,0\bigr),\quad \mathbf{a}_{2} = \bigl(\tfrac{a}{2},\,-\tfrac{a}{2},\,0\bigr),\quad \mathbf{a}_{3} = \bigl(0,\,0,\,a\bigr).

Passo 4

Qualquer combinação inteira
\mathbf{R}=n_{1}\mathbf{a}_{1}+n_{2}\mathbf{a}_{2}+n_{3}\mathbf{a}_{3}
fica
\mathbf{R}=\Bigl(\tfrac{n_{1}+n_{2}}{2}a,\;\tfrac{n_{1}-n_{2}}{2}a,\;n_{3}a\Bigr).
Como n_{1}+n_{2} e n_{1}-n_{2} têm sempre paridade igual, \mathbf{R} gera exatamente os pontos em \bigl(n_{1},n_{2},n_{3}\bigr)a (quando n_1+n_2 e n_1-n_2 são pares) e os pontos em \bigl(n_{1}+\tfrac12,n_{2}+\tfrac12,n_{3}\bigr)a (quando são ímpares). Logo os três vetores acima são primitivos e geram toda a rede.

Passo 5

Concluímos que essa rede é mesmo uma rede de Bravais, do tipo reticular primitiva tetragonal, com parâmetros de rede
a_{t}=\bigl|\mathbf{a}_{1}\bigr|=\tfrac{a}{\sqrt{2}},\quad c_{t}=\bigl|\mathbf{a}_{3}\bigr|=a.

Resposta

A rede é de Bravais (primitiva tetragonal) com vetores primitivos
\mathbf{a}_{1} = \bigl(\tfrac{a}{2},\,\tfrac{a}{2},\,0\bigr),\quad \mathbf{a}_{2} = \bigl(\tfrac{a}{2},\,-\tfrac{a}{2},\,0\bigr),\quad \mathbf{a}_{3} = \bigl(0,\,0,\,a\bigr).

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