Utilize o Triângulo de Pascal e calcule o coeficiente do termo a^{3} b^{4} da potência binômial (a+b)^{7} :
(a) 21
(b) 35
(c) 15
(d) 71
Marcar apenas uma oval.
◯ (a)
◯ (b)
◯ (c)
◯ (d)
◯ não sei

Passo 1

O enunciado pede: calcular o coeficiente do termo a^{3} b^{4} na expansão de (a+b)^{7}. Informação importante: os expoentes somam 3+4=7, ou seja o termo faz parte da expansão de ordem 7.

Passo 2

Lembrete prático sobre o Triângulo de Pascal (como construir):
  • A primeira e a última entrada de cada linha são 1.
  • Cada entrada interna é a soma das duas entradas imediatamente acima (à esquerda e à direita) na linha anterior.
Vou escrever as primeiras linhas do triângulo (a linha n dá os coeficientes de (a+b)^{n}):
\text{linha }0:\\\ 1
\text{linha }1:\\\ 1\quad 1
\text{linha }2:\\\ 1\quad 2\quad 1
\text{linha }3:\\\ 1\quad 3\quad 3\quad 1
\text{linha }4:\\\ 1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1
\text{linha }5:\\\ 1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1
\text{linha }6:\\\ 1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1
\text{linha }7:\\\ 1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1

Passo 3

Explicando a correspondência entre coeficientes e posições:
A fórmula do binômio é
(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k}.
Portanto o coeficiente do termo a^{3}b^{4} ocorre quando n-k=3 e k=4. Isso significa que devemos olhar a entrada correspondente a k=4 (ou equivalente a \binom{7}{4}) na linha 7 do triângulo. Pela simetria do triângulo vale também \binom{7}{4}=\binom{7}{3}.

Passo 4

Usando a linha 7 que já escrevemos:
\text{linha }7:\\\ 1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1.
A entrada para k=4 (contando a partir de k=0) é o quinto número dessa linha, que é 35. Como checagem rápida usando combinação:
\binom{7}{4}=\frac{7!}{4!\,3!}=\frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}=35.

Passo 5

Conclusão: o coeficiente do termo a^{3}b^{4} em (a+b)^{7} é 35. Força aí nos estudos — você já entendeu como usar o Triângulo de Pascal para qualquer potência binomial!

Resposta

(b) 35

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