( V ) Lei de Beer: quando a energia radiante atravessa uma solução, a quantidade de energia transmitida diminui exponencialmente com o aumento da concentração da solução.
Passo 1
Temos uma frase afirmativa para avaliar: “quando a energia radiante atravessa uma solução, a quantidade de energia transmitida diminui exponencialmente com o aumento da concentração da solução.”\n
Informações dadas pelo enunciado: a relação é entre energia radiada transmitida e concentração da solução; a afirmação é que a transmissão diminui de modo exponencial quando a concentração aumenta. O que se pede implicitamente é confirmar se essa afirmação é verdadeira ou falsa.
Informações dadas pelo enunciado: a relação é entre energia radiada transmitida e concentração da solução; a afirmação é que a transmissão diminui de modo exponencial quando a concentração aumenta. O que se pede implicitamente é confirmar se essa afirmação é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Vamos modelar matematicamente o que significa “a energia transmitida atravessa uma solução” e é absorvida ao longo do caminho. Denotemos por
a intensidade (ou energia por unidade de tempo) da radiação no ponto que está a uma distância
dentro da solução, e por
a intensidade incidente (em
). A hipótese física básica que leva à lei é: em um pequeno espessamento
da solução, a perda de intensidade
é proporcional à intensidade que chega ali (mais intensidade → mais perda possível) e proporcional à concentração
(mais partículas absorventes → mais perda). Escrevemos isso como
onde
é uma constante de proporcionalidade que descreve a capacidade de absorção por unidade de concentração e por unidade de caminho. Vou explicar cada símbolo:
= intensidade transmitida após ter percorrido distância
;
= concentração (em unidades apropriadas);
= coeficiente de extinção (depende da substância e da unidade usada);
= pequeno incremento no caminho.
Passo 3
Agora resolvemos a equação diferencial para obter a dependência de
com
. Reescrevendo e separando variáveis:
Integramos ambos os lados desde
(onde
) até
(onde
, intensidade transmitida após atravessar o comprimento
do cubeta):
As integrais são fáceis:
Exponentiando ambos os lados obtemos a forma exponencial:
Essa razão
é a transmitância
, então
Passo 4
Interpretação: a expressão
mostra exatamente que a transmitância (fração da energia que atravessa a solução) decai exponencialmente quando a concentração
aumenta — tudo o mais fixo. Se
cresce, o expoente
fica mais negativo e
diminui exponencialmente. Portanto a dependência exponencial com a concentração está demonstrada.
Passo 5
Conexão com a forma mais usual da química/óptica (Lei de Beer–Lambert): costuma-se trabalhar com absorbância
definida por
Usando
podemos escrever, trocando de base logarítmica,
Define-se a absortividade molar
pela
(ou mais convencionalmente
escolhido para que
quando
é em cm e
em mol L^{-1}). A forma prática muito usada é
e, invertendo,
Note que
é também uma função exponencial de
(base 10 em vez de
), então a ideia de decaimento exponencial permanece a mesma.
Passo 6
Um exemplo numérico para “sentir” a exponencialidade: suponha que, para uma dada substância e caminho,
(em unidades compatíveis). Então
Se
temos
(ou seja, 90,5% passa). Se
temos
(36,8% passa). Se
temos
(13,5% passa). Vê que aumentando
a transmitância cai rapidamente — comportamento exponencial, não linear.
Passo 7
Conclusão e resposta direta ao enunciado: a afirmação está correta. A Lei de Beer (ou Beer–Lambert) diz precisamente que a intensidade transmitida decresce exponencialmente com a concentração (e com o comprimento de percurso) da solução. Força aí nos estudos — é uma lei muito usada em química analítica e espectrofotometria e aparece direto em prova; decorar a forma
e
ajuda muito.
Resposta
Verdadeiro