V(t)=4 pi cdot cos (pi t+pi6)
Qual a equação horária, s(t), dado que s(0)=2 ? Quem é sua aceleração?

Solução:

Aceleração é a derivada da velocidade. Não esquecer que, sendo v(t)=f(g(t)), então v^prime(t)=… Assim,
V^prime(t)=4 pi cdot[-sen(pi t+pi / 6)] cdot pi=-4 pi^2 sen(pi t+pi / 6)
Deslocamento é integral…
integral 4 pi cos (pi t+pi / 6) d t=4 pi integral cos (pi t+pi / 6) dt
Fazer mudança de variável… y=(pi t+pi / 6) dy / dt=pi dy=pi dt
Logo,
s(t)=4 pi integral cos (pi t+pi / 6) dt=4 pi integral cos y d ypi=4 sen y+C=4 sen(pi t+pi6)+C
Da informação s(0)=2 2=4 sen(pi / 6)+C 2=4(1 / 2)+C C=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a velocidade v(t)=4picosl(pi t+tfracpi6r) e pede pra gente encontrar a equação horária do deslocamento s(t) com a condição inicial s(0)=2, além de determinar a aceleração a(t). Vamos usar derivada pra achar a(t) e integral pra achar s(t).

Passo 2

A aceleração é a derivada da velocidade. Como v(t)=f(g(t)), aplicamos a regra da cadeia: derivada de cos(u) é -sin(u) vezes u'. Então
a(t)=v'(t)=4picdot[-sinl(pi t+tfracpi6r)]cdotpi=-4pi^2sinl(pi t+tfracpi6r)

Passo 3

Pra achar s(t) integramos v(t). Montamos
s(t)=integral v(t),dt=4piintegralcosl(pi t+tfracpi6r)dt

Passo 4

Usamos substituição y=pi t+tfracpi6, então dy=pi,dt e dt=dy/pi. A integral vira
s(t)=4piintegralcos(y)dypi=4integralcos(y),dy=4sin(y)+C=4sinl(pi t+tfracpi6r)+C

Passo 5

Aplicando a condição inicial s(0)=2:
2=4sinl(0+tfracpi6r)+C=4cdottfrac12+Cimplies C=0

Resposta

s(t)=4sinl(pi t+tfracpi6r) e a(t)=-4pi^2sinl(pi t+tfracpi6r).

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