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Encontre constantes
e
tais que a função
seja derivável em
e
.
Resp.: $a=-3 / 2, b=0 ; c=7 / 2
$
Encontre constantes
Resp.: $a=-3 / 2, b=0 ; c=7 / 2
$
Passo 1
O enunciado pede para determinar as constantes de uma função definida por partes de modo que ela seja derivável em ℝ e ainda satisfaça f′(0)=0. O conteúdo envolve continuidade e derivabilidade em pontos de quebra e cálculo de derivada de polinômio.
Passo 2
Para que f′(0)=0, usamos a definição de derivada da parte x<1: f(x)=ax²+bx+c implica f′(x)=2ax+b. Logo,
Passo 3
Para que f seja contínua em x=1, o limite à esquerda deve igualar o valor à direita em x=1. Assim,
Como já temos b=0, isso dá
Passo 4
Para que f seja derivável em x=1, as derivadas laterais em x=1 devem coincidir. Derivada à esquerda em x=1 é 2a·1 + b = 2a, e à direita f(x)=x²-5x+6 tem f′(x)=2x-5, logo em x=1 vale -3. Igualando:
Passo 5
Substituindo a em c = 2 - a resulta
Resposta
a = -3/2, b = 0, c = 7/2