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Encontre constantes a, b e c tais que a função f(x)=lla x^2+b x+c & , se x<1 x^2-5 x+6 & , se x >= 1 seja derivável em R e f^prime(0)=0.
Resp.: $a=-3 / 2, b=0 ; c=7 / 2
$

Passo 1

O enunciado pede para determinar as constantes de uma função definida por partes de modo que ela seja derivável em ℝ e ainda satisfaça f′(0)=0. O conteúdo envolve continuidade e derivabilidade em pontos de quebra e cálculo de derivada de polinômio.

Passo 2

Para que f′(0)=0, usamos a definição de derivada da parte x<1: f(x)=ax²+bx+c implica f′(x)=2ax+b. Logo,
f(0)=b=0

Passo 3

Para que f seja contínua em x=1, o limite à esquerda deve igualar o valor à direita em x=1. Assim,
a·1^2 + b·1 + c = 1^2 - 5·1 + 6 = 2
Como já temos b=0, isso dá
a + c = 2 implies c = 2 - a

Passo 4

Para que f seja derivável em x=1, as derivadas laterais em x=1 devem coincidir. Derivada à esquerda em x=1 é 2a·1 + b = 2a, e à direita f(x)=x²-5x+6 tem f′(x)=2x-5, logo em x=1 vale -3. Igualando:
2a = -3 implies a = -tfrac32

Passo 5

Substituindo a em c = 2 - a resulta
c = 2 -l(-tfrac32r) = tfrac72

Resposta

a = -3/2, b = 0, c = 7/2

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