Se
representa o potencial elétrico num ponto (
), determine a direção em que se dá a menor taxa de variação de
em
.
Passo 1
O enunciado pede a direção em que a variação de
é mínima em
. Como estamos tratando de direção de variação de uma função de várias variáveis, vamos usar o conceito de gradiente e derivada direcional.
Passo 2
Sabemos que a derivada direcional de
na direção de um vetor unitário
é
Para encontrar a direção de menor taxa de variação, escolhemos
de modo a minimizar esse produto escalar, ou seja, a direção oposta ao gradiente normalizado.
Passo 3
Primeiro calculamos o gradiente de forma geral. Com
, aplicamos regra da cadeia e obtemos
Passo 4
Agora avaliamos em
. Como
, temos
Passo 5
A menor derivada direcional ocorre na direção oposta a
, isto é, no vetor
Para obter um vetor unitário
, dividimos por seu módulo. O módulo de
é
, logo
Resposta
A direção de menor taxa de variação de
em
é o vetor unitário