Se V(x, y, z)=1 / \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} representa o potencial elétrico num ponto ( x, y, z ), determine a direção em que se dá a menor taxa de variação de V em (2,2,1).

Passo 1

O enunciado pede a direção em que a variação de V(x,y,z)=1/\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} é mínima em (2,2,1). Como estamos tratando de direção de variação de uma função de várias variáveis, vamos usar o conceito de gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Sabemos que a derivada direcional de V na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é
D_{\mathbf{u}}V(\mathbf{r}) \;=\;\nabla V(\mathbf{r})\cdot\mathbf{u}.
Para encontrar a direção de menor taxa de variação, escolhemos \mathbf{u} de modo a minimizar esse produto escalar, ou seja, a direção oposta ao gradiente normalizado.

Passo 3

Primeiro calculamos o gradiente de forma geral. Com V=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2}, aplicamos regra da cadeia e obtemos
\nabla V(x,y,z) =\Bigl(-\tfrac{x}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}},\; -\tfrac{y}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}},\; -\tfrac{z}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}}\Bigr).

Passo 4

Agora avaliamos em (2,2,1). Como 2^{2}+2^{2}+1^{2}=9, temos
\nabla V(2,2,1) =-\frac{1}{9^{3/2}}\,(2,2,1) =-\frac{1}{27}\,(2,2,1).

Passo 5

A menor derivada direcional ocorre na direção oposta a \nabla V, isto é, no vetor
-\nabla V(2,2,1) =\frac{1}{27}\,(2,2,1).
Para obter um vetor unitário \mathbf{u}_{\min}, dividimos por seu módulo. O módulo de (2,2,1) é \sqrt{9}=3, logo
\mathbf{u}_{\min} =\frac{1}{3}(2,2,1) =(\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}).

Resposta

A direção de menor taxa de variação de V em (2,2,1) é o vetor unitário
\bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\bigr).

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