Uma vacina, com taxa de imunização de 80 % segundo o fabricante, foi aplicada em um conjunto de crianças de um certo bairro. As autoridades de saúde desejam certificar se a taxa de imunização tem efetivamente o valor indicado. Para tal, 20 crianças foram sorteadas dentre as que receberam a vacina e foram submetidas a testes rigorosos para avaliar sua imunização.
a) Encontre a probabilidade de 10 crianças terem sido imunizadas.
b) Encontre a probabilidade de no mínimo 18 crianças serem imunizadas.
c) Encontre a probabilidade de no máximo 17 crianças serem imunizadas.

Passo 1

Vamos lá! A questão fala sobre probabilidade relacionada à imunização de crianças com uma vacina que, segundo o fabricante, tem uma taxa de imunização de 80%. A gente precisa calcular algumas probabilidades baseadas nisso. Vamos usar conceitos de probabilidade binomial, que é perfeita para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis saídas (imunizado ou não).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a probabilidade binomial. Ela serve para calcular a chance de ter exatamente $ k $ sucessos em $ n $ tentativas, com uma probabilidade $ p $ de sucesso em cada tentativa. A fórmula é:
k
Onde $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula quantas combinações possíveis existem para escolher $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.

Passo 3

Item a): Queremos a probabilidade de exatamente 10 crianças serem imunizadas.
Aqui, $ n = 20 $, $ k = 10 $ e $ p = 0.8 $.
Vamos aplicar a fórmula:
n = 20
Agora, vamos calcular cada parte:
  1. Coeficiente binomial:
k = 10
  1. Probabilidade dos sucessos:
p = 0.8
  1. Probabilidade das falhas:
P(X = 10) = binom2010 (0.8)^10 (0.2)^10
Multiplicando tudo:
binom2010 = 20!10! times 10! = 184756

Passo 4

Item b): Probabilidade de no mínimo 18 crianças serem imunizadas.
Aqui, queremos $ P(X \geq 18) $, ou seja, $ P(X = 18) + P(X = 19) + P(X = 20) $.
Vamos calcular cada termo usando a fórmula binomial.
Para $ k = 18 $:
P(X >= 18)
Para $ k = 19 $:
P(X = 18) + P(X = 19) + P(X = 20)
Para $ k = 20 $:
k = 18
Somando tudo:
P(X = 18) = binom2018 (0.8)^18 (0.2)^2 = 190 times (0.8)^18 times (0.2)^2 approx 190 times 0.0380 times 0.04 approx 0.289

Passo 5

Item c): Probabilidade de no máximo 17 crianças serem imunizadas.
Aqui, queremos $ P(X \leq 17) $. Como a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis é 1, podemos calcular isso subtraindo a probabilidade de $ X \geq 18 $ de 1.
P(X <= 17)

Resposta

a) A probabilidade de exatamente 10 crianças serem imunizadas é aproximadamente 0,0201.
b) A probabilidade de no mínimo 18 crianças serem imunizadas é aproximadamente 0,4215.
c) A probabilidade de no máximo 17 crianças serem imunizadas é aproximadamente 0,5785.

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