Uma vacina, com taxa de imunização de
segundo o fabricante, foi aplicada em um conjunto de crianças de um certo bairro. As autoridades de saúde desejam certificar se a taxa de imunização tem efetivamente o valor indicado. Para tal, 20 crianças foram sorteadas dentre as que receberam a vacina e foram submetidas a testes rigorosos para avaliar sua imunização.
a) Encontre a probabilidade de 10 crianças terem sido imunizadas.
b) Encontre a probabilidade de no mínimo 18 crianças serem imunizadas.
c) Encontre a probabilidade de no máximo 17 crianças serem imunizadas.
a) Encontre a probabilidade de 10 crianças terem sido imunizadas.
b) Encontre a probabilidade de no mínimo 18 crianças serem imunizadas.
c) Encontre a probabilidade de no máximo 17 crianças serem imunizadas.
Passo 1
Vamos lá! A questão fala sobre probabilidade relacionada à imunização de crianças com uma vacina que, segundo o fabricante, tem uma taxa de imunização de 80%. A gente precisa calcular algumas probabilidades baseadas nisso. Vamos usar conceitos de probabilidade binomial, que é perfeita para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis saídas (imunizado ou não).
Passo 2
Primeiro, vamos entender a probabilidade binomial. Ela serve para calcular a chance de ter exatamente $ k $ sucessos em $ n $ tentativas, com uma probabilidade $ p $ de sucesso em cada tentativa. A fórmula é:
Onde $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula quantas combinações possíveis existem para escolher $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.
Passo 3
Item a): Queremos a probabilidade de exatamente 10 crianças serem imunizadas.
Aqui, $ n = 20 $, $ k = 10 $ e $ p = 0.8 $.
Vamos aplicar a fórmula:
Agora, vamos calcular cada parte:
- Coeficiente binomial:
- Probabilidade dos sucessos:
- Probabilidade das falhas:
Multiplicando tudo:
Passo 4
Item b): Probabilidade de no mínimo 18 crianças serem imunizadas.
Aqui, queremos $ P(X \geq 18) $, ou seja, $ P(X = 18) + P(X = 19) + P(X = 20) $.
Vamos calcular cada termo usando a fórmula binomial.
Para $ k = 18 $:
Para $ k = 19 $:
Para $ k = 20 $:
Somando tudo:
Passo 5
Item c): Probabilidade de no máximo 17 crianças serem imunizadas.
Aqui, queremos $ P(X \leq 17) $. Como a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis é 1, podemos calcular isso subtraindo a probabilidade de $ X \geq 18 $ de 1.
Resposta
a) A probabilidade de exatamente 10 crianças serem imunizadas é aproximadamente 0,0201.
b) A probabilidade de no mínimo 18 crianças serem imunizadas é aproximadamente 0,4215.
c) A probabilidade de no máximo 17 crianças serem imunizadas é aproximadamente 0,5785.