Qual o valor de
arctg(1)
? (a) 0
(b)
π
4
(c) π
(d)
5 π
4

Passo 1

O enunciado pede para calcular \operatorname{arctg}(1) e apresenta quatro opções:
(a) 0
(b) \dfrac{\pi}{4}
(c) \pi
(d) \dfrac{5\pi}{4}

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa \operatorname{arctg} (também escrito \arctan). Por definição, \arctan(y) é o único ângulo \theta no intervalo principal \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) tal que
\tan\theta = y.
Ou seja, para \operatorname{arctg}(1) estamos procurando o ângulo \theta\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) que satisfaça \tan\theta=1.

Passo 3

Vamos achar um ângulo cujo tangente vale 1. Usando o círculo trigonométrico, sabe-se que em \theta=\dfrac{\pi}{4} (ou 45^\circ) temos
\sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2},
portanto
\tan\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\frac{\sin(\pi/4)}{\cos(\pi/4)}=\frac{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}=1.
Logo \dfrac{\pi}{4} é uma solução da equação \tan\theta=1.

Passo 4

A função tangente é periódica de período \pi, então todas as soluções de \tan\theta=1 são dadas por
\theta=\dfrac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Mas a definição de \arctan pede a solução dentro do intervalo principal \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right). Dessas soluções, apenas \theta=\dfrac{\pi}{4} pertence a esse intervalo. Por isso
\operatorname{arctg}(1)=\arctan(1)=\dfrac{\pi}{4}.

Passo 5

Conferindo as opções:
  • (a) 0: \tan 0=0, não serve.
  • (b) \dfrac{\pi}{4}: \tan(\pi/4)=1 e está no intervalo principal — é a correta.
  • (c) \pi: \tan\pi=0, não serve.
  • (d) \dfrac{5\pi}{4}: \tan(5\pi/4)=1 também, mas \dfrac{5\pi}{4}\notin\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right), portanto não é o valor que \arctan retorna.

Resposta

(b) \dfrac{\pi}{4}

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