Qual o valor de
arcsin (

2 / 2)
(a)
π
4
(b) 0
(c)

3
2
(d)
π
5

Passo 1

O enunciado dá a expressão \arcsin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr) e pede o seu valor entre as alternativas:
(a) \pi/4
(b) 0
(c) \sqrt{3}/2
(d) \pi/5.

Passo 2

O que significa \arcsin. Por definição, \arcsin(x) é o ângulo \theta tal que \sin(\theta)=x e que pertence ao intervalo principal
\theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right].
Em outras palavras, quando eu escrevo \theta=\arcsin(x) estou pedindo o ângulo \theta na faixa [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] cuja seno é x.

Passo 3

Vamos recordar os senos dos ângulos especiais mais usados na prova. Para os ângulos
\,0,\;\tfrac{\pi}{6},\;\tfrac{\pi}{4},\;\tfrac{\pi}{3},\;\tfrac{\pi}{2}\, vale:
\sin(0)=0,\qquad \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac{1}{2},\qquad \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\tfrac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\tfrac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1.
Explico rapidamente por que \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}: num triângulo retângulo isósceles de ângulos 45^\circ (ou \tfrac{\pi}{4}) os catetos são iguais. Se o hipotenusa valer 1, cada cateto vale 1/\sqrt{2}, que racionalizado dá \sqrt{2}/2. Pela definição \sin=\dfrac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}, obtemos \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

Como \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\tfrac{\sqrt{2}}{2} e \tfrac{\pi}{4} pertence ao intervalo principal \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right], segue que
\arcsin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr)=\tfrac{\pi}{4}.
Isto é, \tfrac{\pi}{4} é precisamente o ângulo procurado que a função \arcsin retorna.

Passo 5

Uma observação útil para a prova: há outros ângulos cujo seno é \tfrac{\sqrt{2}}{2}, por exemplo \tfrac{3\pi}{4} (porque \sin\!\bigl(\tfrac{3\pi}{4}\bigr)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}). Porém \tfrac{3\pi}{4} NÃO pertence ao intervalo principal de \arcsin, então a função inversa dá \tfrac{\pi}{4}, não \tfrac{3\pi}{4}. Sempre verifique a faixa principal \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right].

Passo 6

Cheque rápido das alternativas usando aproximações (só para confirmar):
\tfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,7071,\qquad \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{5}\bigr)=\sin(36^\circ)\approx 0,5878,\qquad \tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,8660.
Portanto apenas \tfrac{\pi}{4} produz seno igual a \tfrac{\sqrt{2}}{2} dentro da faixa principal.

Resposta

(a) \pi/4

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