1. (Valor até 7pts.) Calcule a integral integral0^4 integralraizy^2 y cdot cos (x^5) d x d y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral0^4integralraizy^2 ycosl(x^5r),dx,dy
O conteúdo aqui é mudança de ordem de integração em integrais duplas e uso de substituição em integrais simples.

Passo 2

Descrivendo a região de integração D: temos 0<= y <= 4 e raizy<= x<= 2. Isso equivale a inverter a ordem como
0<= x<= 2, 0<= y<= x^2
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integral0^4integralraizy^2 ycosl(x^5r),dx,dy =integral0^2integral0^x^2 ycosl(x^5r),dy,dx

Passo 3

Calculando a integral interna em y:
integral0^x^2 y,dy =gl[tfracy^22gr]0^x^2 =x^42
Substituindo na integral em x,
integral0^2integral0^x^2 ycosl(x^5r),dy,dx =integral0^2 x^42cosl(x^5r),dx =12integral0^2 x^4cosl(x^5r),dx

Passo 4

Fazendo a substituição
u = x^5, du = 5x^4dxLongrightarrow x^4dx = 15du,
os limites mudam de x=0to u=0 e x=2to u=32. Assim,
12integral0^2 x^4cosl(x^5r),dx =12cdot15integral0^32cos(u),du =110l[sin(u)r]0^32 =110sin(32)

Resposta

110sin(32)

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