1-(Valor de cada item ; 0,7 pontos) Resolva as integrais abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior). - Queremos o valor numérico exato da integral (em termos de
).
Passo 2
Plano de resolução (explicação do método): vou usar uma mudança de variável (substituição) porque o expoente é uma função linear de
(
). A ideia da substituição é transformar a integral numa forma simples do tipo
, cuja primitiva sabemos que é
. Vou explicar passo a passo tudo que faço, sem pular etapas.
Passo 3
Definimos a substituição. Seja
Aqui
é a nova variável que depende de
. Agora calculamos a diferencial
em função de
:
Isolando
temos
Passo 4
Como é uma integral definida, devemos também transformar os limites. Quando
,
Quando
,
Portanto os limites em
vão de
(correspondente a
) até
(correspondente a
).
Passo 5
Substituímos na integral original. Temos
e
. Assim a integral fica
Agora simplificamos o fator constante
:
Logo
Passo 6
Sabemos que a primitiva de
é
(ou seja,
). Usando o Teorema Fundamental do Cálculo para integrar de
a
:
Passo 7
Fazendo a simplificação algébrica do resultado:
Também poderia ser escrito fatorando
:
já que
.