1-(Valor de cada item ; 0,7 pontos) Resolva as integrais abaixo.
\int_{-1}^{0} 2 e^{-4 t+3} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{0} 2 e^{-4 t+3}\, dt.
Informações dadas:
  • O integrando é 2 e^{-4 t+3}.
  • Os limites de integração são t=-1 (inferior) e t=0 (superior).
  • Queremos o valor numérico exato da integral (em termos de e).

Passo 2

Plano de resolução (explicação do método): vou usar uma mudança de variável (substituição) porque o expoente é uma função linear de t ( -4t+3). A ideia da substituição é transformar a integral numa forma simples do tipo \int e^{u}\,du, cuja primitiva sabemos que é e^{u}. Vou explicar passo a passo tudo que faço, sem pular etapas.

Passo 3

Definimos a substituição. Seja
u = -4t + 3.
Aqui u é a nova variável que depende de t. Agora calculamos a diferencial du em função de dt:
\frac{du}{dt} = -4 \quad\Rightarrow\quad du = -4\,dt.
Isolando dt temos
dt = \frac{du}{-4}.

Passo 4

Como é uma integral definida, devemos também transformar os limites. Quando t=-1,
u(-1) = -4(-1) + 3 = 4 + 3 = 7.
Quando t=0,
u(0) = -4(0) + 3 = 3.
Portanto os limites em u vão de u=7 (correspondente a t=-1) até u=3 (correspondente a t=0).

Passo 5

Substituímos na integral original. Temos 2 e^{-4t+3} = 2 e^{u} e dt = \dfrac{du}{-4}. Assim a integral fica
\int_{-1}^{0} 2 e^{-4 t+3}\, dt = \int_{u=7}^{u=3} 2 e^{u}\cdot\frac{du}{-4}.
Agora simplificamos o fator constante 2/(-4):
\frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}.
Logo
\int_{u=7}^{u=3} 2 e^{u}\cdot\frac{du}{-4} = -\frac{1}{2}\int_{7}^{3} e^{u}\,du.

Passo 6

Sabemos que a primitiva de e^{u} é e^{u} (ou seja, \dfrac{d}{du}e^{u}=e^{u}). Usando o Teorema Fundamental do Cálculo para integrar de 7 a 3:
-\frac{1}{2}\int_{7}^{3} e^{u}\,du = -\frac{1}{2}\big[ e^{u} \big]_{7}^{3} = -\frac{1}{2}\big( e^{3} - e^{7} \big).

Passo 7

Fazendo a simplificação algébrica do resultado:
-\frac{1}{2}\big( e^{3} - e^{7} \big) = -\frac{1}{2}e^{3} + \frac{1}{2}e^{7} = \frac{1}{2}\big( e^{7} - e^{3} \big).
Também poderia ser escrito fatorando e^{3}:
\frac{1}{2}e^{3}\big(e^{4}-1\big),
já que e^{7}=e^{3}e^{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\big(e^{7}-e^{3}\big)

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