1-(Valor de cada item ; 0,7 pontos) Resolva as integrais abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações relevantes fornecidas:
Observação: a expressão tem
no denominador, logo
no domínio da função integranda.
Passo 2
Primeiro simplificamos a função racional escrevendo cada termo em potência de
. Dividindo cada parcela por
temos
Essa forma
é mais fácil de integrar termo a termo.
Passo 3
Lembrete das regras que vamos usar (aquelas que você precisa decorar para a prova):
- Linearidade da integral:
, onde são constantes. - Regra da potência (para
):
onde
é um número real e
é a constante de integração. Aqui
significa que a variável de integração é
e
é o expoente.
- Caso especial
:
O valor absoluto aparece porque o logaritmo natural exige argumento positivo e a primitiva deve valer tanto para
quanto para
.
Passo 4
Agora aplicamos as regras ao integrando
.
- Para a parcela
: extraímos a constante e usamos a regra da potência com :
Podemos reescrever
como
, então essa parcela fica
.
- Para a parcela
: usamos o caso especial :
Somando as duas primitivas (e adicionando a constante de integração única
) obtemos a primitiva completa:
ou, de forma equivalente,
Passo 5
Verificação rápida do tipo “checagem mental”: derivando
obtém-se
e derivando
obtém-se
. Somando dá
, que é o integrando original — ótimo, está correto.
Lembre-se:
e inclua sempre
no logaritmo.