1-(Valor de cada item ; 0,7 pontos) Resolva as integrais abaixo.
\int \frac{7-x^{2}}{x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{7-x^{2}}{x^{3}}\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
\text{o integrando é } \frac{7-x^{2}}{x^{3}}\quad\text{e devemos encontrar uma primitiva (mais a constante de integração).}éçã
Observação: a expressão tem x no denominador, logo x\neq 0 no domínio da função integranda.

Passo 2

Primeiro simplificamos a função racional escrevendo cada termo em potência de x. Dividindo cada parcela por x^{3} temos
\frac{7-x^{2}}{x^{3}}=\frac{7}{x^{3}}-\frac{x^{2}}{x^{3}}=7x^{-3}-x^{-1}.
Essa forma 7x^{-3}-x^{-1} é mais fácil de integrar termo a termo.

Passo 3

Lembrete das regras que vamos usar (aquelas que você precisa decorar para a prova):
  • Linearidade da integral: \displaystyle \int (a f(x)+b g(x))\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx, onde a,b são constantes.
  • Regra da potência (para n\neq -1):
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde n é um número real e C é a constante de integração. Aqui x^{n} significa que a variável de integração é x e n é o expoente.
  • Caso especial n=-1:
\int x^{-1}\,dx=\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C.
O valor absoluto aparece porque o logaritmo natural exige argumento positivo e a primitiva deve valer tanto para x>0 quanto para x<0.

Passo 4

Agora aplicamos as regras ao integrando 7x^{-3}-x^{-1}.
  1. Para a parcela 7x^{-3}: extraímos a constante 7 e usamos a regra da potência com n=-3:
\int 7x^{-3}\,dx = 7\int x^{-3}\,dx = 7\cdot\frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C = 7\cdot\frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{7}{2}x^{-2}.
Podemos reescrever x^{-2} como \dfrac{1}{x^{2}}, então essa parcela fica -\dfrac{7}{2x^{2}}.
  1. Para a parcela -x^{-1}: usamos o caso especial n=-1:
\int -x^{-1}\,dx = -\int x^{-1}\,dx = -\ln|x|.
Somando as duas primitivas (e adicionando a constante de integração única C) obtemos a primitiva completa:
-\frac{7}{2}x^{-2} - \ln|x| + C,
ou, de forma equivalente,
-\frac{7}{2x^{2}} - \ln|x| + C.

Passo 5

Verificação rápida do tipo “checagem mental”: derivando -\dfrac{7}{2}x^{-2} obtém-se -\dfrac{7}{2}\cdot(-2)x^{-3}=7x^{-3} e derivando -\ln|x| obtém-se -1/x = -x^{-1}. Somando dá 7x^{-3}-x^{-1}, que é o integrando original — ótimo, está correto.
Lembre-se: x\neq 0 e inclua sempre |x| no logaritmo.

Resposta

-\frac{7}{2x^{2}}-\ln|x|+C

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