(Valor 1,5) Calcule o limite das funções abaixo:
\lim _{(x, y) \rightarrow(4,-2)} x \sqrt[3]{y^{3}+2 x}

Passo 1

O enunciado pede: calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(4,-2)} x \sqrt[3]{y^{3}+2x}.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=x\sqrt[3]{y^{3}+2x}.
  • O ponto de aproximação é (x,y)\to(4,-2).
  • Não há imagens nem condições adicionais.

Passo 2

Regras de limite que vou usar (explicadas de forma simples):
  • Se \lim_{(x,y)\to(a,b)} g(x,y)=L e \lim_{(x,y)\to(a,b)} h(x,y)=M existem, então \lim_{(x,y)\to(a,b)} \big(g(x,y)+h(x,y)\big)=L+M,
\lim_{(x,y)\to(a,b)} \big(g(x,y)\cdot h(x,y)\big)=L\cdot M.
Essas são as regras de soma e produto de limites. São análogas às regras em uma variável.
  • Se \varphi é contínua no ponto L e \lim_{(x,y)\to(a,b)} g(x,y)=L, então \lim_{(x,y)\to(a,b)} \varphi\big(g(x,y)\big)=\varphi(L).Ou seja: limite + função contínua = avaliar a função no limite.
  • Polinômios (como y^{3}+2x) são contínuos em todo lugar. A função raiz cúbica \varphi(t)=\sqrt[3]{t}=t^{1/3} também é contínua para todo t (é a inversa da função t\mapsto t^{3}, que é contínua e bijetora no \mathbb{R}). Portanto podemos compor limites com \sqrt[3]{\cdot}.

Passo 3

Aplicando as regras: a expressão x\sqrt[3]{y^{3}+2x} é produto de duas funções:
  • g(x,y)=x,
  • h(x,y)=\sqrt[3]{y^{3}+2x}.
Se eu conseguir \lim_{(x,y)\to(4,-2)} g(x,y) e \lim_{(x,y)\to(4,-2)} h(x,y), o limite do produto será o produto dos limites.

Passo 4

Calcular \lim_{(x,y)\to(4,-2)} g(x,y). Como g(x,y)=x é contínua (projeção na coordenada x),
\lim_{(x,y)\to(4,-2)} x = 4.
Aqui a ideia é simples: aproximar (x,y) de (4,-2) faz x aproximar de 4.

Passo 5

Calcular \lim_{(x,y)\to(4,-2)} (y^{3}+2x). Usando continuidade de polinômios e regras de soma/constante:
\lim_{(x,y)\to(4,-2)} y^{3} = (-2)^{3} = -8, \qquad \lim_{(x,y)\to(4,-2)} 2x = 2\cdot 4 = 8.
Somando,
\lim_{(x,y)\to(4,-2)} \big(y^{3}+2x\big) = -8 + 8 = 0.

Passo 6

Agora aplico a continuidade da raiz cúbica \varphi(t)=\sqrt[3]{t}. Como \varphi é contínua em t=0 e \lim_{(x,y)\to(4,-2)} (y^{3}+2x)=0,
\lim_{(x,y)\to(4,-2)} \sqrt[3]{y^{3}+2x} = \sqrt[3]{0} = 0.

Passo 7

Finalmente, pelo teorema do produto de limites (já que os dois limites anteriores existem),
\lim_{(x,y)\to(4,-2)} x\sqrt[3]{y^{3}+2x} = \left(\lim_{(x,y)\to(4,-2)} x\right)\cdot\left(\lim_{(x,y)\to(4,-2)} \sqrt[3]{y^{3}+2x}\right) = 4\cdot 0 = 0.

Resposta

0

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