(valor 2,5) Elaborar um circuito lógico para resolver o seguinte problema. Três professores são responsáveis por julgar os trabalhos de uma feira de ciências e cada um tem a sua disposição, uma chave “On/Off” (liga/desliga), onde: On- aprovado (nível lógico 1), Off - reprovado (nível lógico 0). Existem duas saídas, as lâmpadas (L1 e L2). A lâmpada L1, quando acesa, indica que o trabalho foi aprovado (pela maioria). A lâmpada L2, quando acesa, indica que o trabalho foi reprovado (pela maioria). Apresentar: tabela verdade e a função minimizada para as duas saídas.

Passo 1

O enunciado dá três chaves (uma por professor) com valores On = aprovado = nível lógico 1 e Off = reprovado = nível lógico 0. Existem duas lâmpadas (saídas): L1 acende quando o trabalho foi aprovado pela maioria; L2 acende quando o trabalho foi reprovado pela maioria. O que é pedido:
  • Apresentar a tabela-verdade completa (todas as combinações de entradas e os valores de L1 e L2).
  • Apresentar a função lógica minimizada para L1 e para L2.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Há exatamente três entradas binárias (uma por professor).
  • “Maioria” com três votantes significa que a saída é 1 quando pelo menos dois votos são 1 (para L1) ou pelo menos dois votos são 0 (para L2).
  • Não há empates (com três votantes sempre há maioria).

Passo 2

Defino as variáveis de entrada e o significado delas (para ficar claro na resolução):
  • A = voto do professor 1 ( 1 = aprovado, 0 = reprovado).
  • B = voto do professor 2 ( 1 = aprovado, 0 = reprovado).
  • C = voto do professor 3 ( 1 = aprovado, 0 = reprovado).
E as saídas:
  • L1 = 1 se a maioria aprova (isto é, se pelo menos dois entre A,B,C são 1).
  • L2 = 1 se a maioria reprova (isto é, se pelo menos dois entre A,B,C são 0).
Agora vamos construir a tabela-verdade listando todas as 2^3=8 combinações de (A,B,C) e aplicar a regra da maioria.

Passo 3

Tabela-verdade: para cada linha eu conto quantos 1s existem; se houver pelo menos dois 1s, então L1=1; se houver pelo menos dois 0s, então L2=1. (Obs.: com três bits, ou a maioria é de 1s ou a maioria é de 0s; portanto L2 é o complemento de L1.)
As 8 combinações e os resultados são:
\begin{array}{c c c | c c} A & B & C & L1 & L2\\hline 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\\\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}
Explicando rapidamente uma linha de exemplo: para (A,B,C)=(1,0,1) há dois 1s ( A e C), logo maioria aprova e L1=1; consequência L2=0.

Passo 4

Vamos escrever L1 em forma canônica (soma de mintermos) usando as linhas onde L1=1. Observando a tabela, L1=1 nas combinações:
(0,1,1), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1).
Em termos de índices de mintermo (com a ordem (A,B,C) e numerando binário de 000=0 até 111=7), esses são os mintermos m_3,m_5,m_6,m_7. Assim:
L1 = \Sigma m(3,5,6,7) = A'BC + AB'C + ABC' + ABC.
Agora vamos simplificar essa expressão para uma forma minimizada que seja prática para implementação.

Passo 5

Simplificação de L1. Uma forma muito conhecida e compacta da função “maioria de três” é a soma de produtos pares de variáveis. Vou mostrar que
L1 = AB + AC + BC.
Prova intuitiva por comparação: expandindo AB + AC + BC em termos de mintermos (multiplicando por 1=C+C', etc.) obtém-se exatamente os mintermos onde há pelo menos dois 1s. Podemos também verificar algebraicamente que a expressão canônica anterior reduz-se a essa forma:
Partindo de
A'BC + AB'C + ABC' + ABC,
agrupamos os dois últimos termos:
ABC' + ABC = AB(C'+C) = AB.
E os dois primeiros termos:
A'BC + AB'C = C(A'B + AB') = C\bigl(A\oplus B\bigr).
Então a soma total é
AB + C(A\oplus B).
Expandindo C(A\oplus B) e reorganizando (ou fazendo uma verificação por tabela), chega-se que isso é equivalente a AB + AC + BC. Uma verificação direta é expandir AB + AC + BC em mintermos:
AB + AC + BC = AB(C+C') + AC(B+B') + BC(A+A'),
ao expandir e eliminar repetições aparecem exatamente os mintermos m_3,m_5,m_6,m_7. Portanto a forma minimizada e bem conhecida é
\boxed{L1 = AB + AC + BC.}

Passo 6

Função para L2. Observando a tabela, L2 é 1 exatamente quando a maioria é de zeros, ou seja, quando há pelo menos dois zeros. Isso corresponde aos mintermos m_0,m_1,m_2,m_4. Então a forma canônica é:
L2 = A'B'C' + A'B'C + A'BC' + AB'C'.
Podemos notar que, com três entradas, sempre ou L1=1 ou L2=1 (não há empate), então L2 é o complemento lógico de L1:
L2 = \overline{L1}.
Usando isso e aplicando De Morgan (ou simplesmente escrevendo a versão simétrica de L1) obtemos a forma minimizada
\boxed{L2 = A'B' + A'C' + B'C'.}
Verificação rápida: A'B' + A'C' + B'C' é 1 exatamente quando pelo menos dois de A,B,C são zeros.

Passo 7

Resumo e interpretação prática (dica para prova): para implementar a lâmpada que indica maioria de aprovação, basta montar uma rede de portas que realize AB + AC + BC — isso são três portas AND de pares e uma porta OR para somá-las. Para a lâmpada da reprovação você pode usar uma porta NOT no resultado de L1 (ou implementar diretamente A'B' + A'C' + B'C'). Isso facilita a implementação em prova quando pedirem o circuito.

Resposta

Tabela-verdade:
\begin{array}{c c c | c c} A & B & C & L1 & L2\\hline 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\\\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}
Funções minimizadas:
L1 = AB + AC + BC
L2 = A'B' + A'C' + B'C'

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