(valor 2,5) Aplique o Método de Minimização Tabular de Quine-McCluskey na lista de mintermos a seguir e apresente a expressão minimizada (no formato SOP - canônica).
S=\sum_{A, B, C, D}(0,2,5,7,15)+d(4,12,13)

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o Método de Minimização Tabular de Quine–McCluskey à função booleana dada e apresentar a expressão minimizada no formato SOP. Dados fornecidos:
S=\sum_{A,B,C,D}(0,2,5,7,15)+d(4,12,13)
Lista explícita:
\text{Mintermos (on-set)}=\{0,2,5,7,15\}
\text{Don't cares}=\{4,12,13\}
Variáveis: \,A,B,C,D (ordem \,A MSB \to \,D LSB).
A resolução começa transformando os índices em binário e aplicando o método tabular.

Passo 2

Converto cada índice para a forma binária de 4 bits (A\,B\,C\,D):
\begin{array}{ll} 0 &= 0000\\\\ 2 &= 0010\\\\ 5 &= 0101\\\\ 7 &= 0111\\\\ 15 &= 1111\\[4pt] 4 &= 0100\\ (\text{don't care})\\\\ 12 &= 1100\\ (\text{don't care})\\\\ 13 &= 1101\\ (\text{don't care}) \end{array}
Agora agrupo por número de uns (contagem de bits 1):
\begin{array}{ll} \text{0 uns:} & 0\\ (0000)\\\ \text{1 um:} & 2\\ (0010),\\\ 4\\ (0100)\\\ \text{2 uns:} & 5\\ (0101),\\\ 12\\ (1100)\\\ \text{3 uns:} & 7\\ (0111),\\\ 13\\ (1101)\\\ \text{4 uns:} & 15\\ (1111) \end{array}]

Passo 3

Faço as combinações entre grupos adjacentes (só quando duas palavras binárias diferem em exatamente um bit). Quando combinar, substituo o bit diferente por - e associo os mintermos cobertos.
Combinações G0–G1:
\begin{array}{l} (0,2):\\\ 0000\\ \text{e}\\\ 0010 \to 00-0\\ \text{(cobre }\{0,2\})\\\ (0,4):\\\ 0000\\ \text{e}\\\ 0100 \to 0-00\\ \text{(cobre }\{0,4\}) \end{array}
Combinações G1–G2:
\begin{array}{l} (4,5):\\\ 0100\\ \text{e}\\\ 0101 \to 010-\\ \text{(cobre }\{4,5\})\\\ (4,12):\\\ 0100\\ \text{e}\\\ 1100 \to -100\\ \text{(cobre }\{4,12\}) \end{array}
Combinações G2–G3:
\begin{array}{l} (5,7):\\\ 0101\\ \text{e}\\\ 0111 \to 01-1\\ \text{(cobre }\{5,7\})\\\ (5,13):\\\ 0101\\ \text{e}\\\ 1101 \to -101\\ \text{(cobre }\{5,13\})\\\ (12,13):\\\ 1100\\ \text{e}\\\ 1101 \to 110-\\ \text{(cobre }\{12,13\}) \end{array}
Combinações G3–G4:
\begin{array}{l} (7,15):\\\ 0111\\ \text{e}\\\ 1111 \to -111\\ \text{(cobre }\{7,15\})\\\ (13,15):\\\ 1101\\ \text{e}\\\ 1111 \to 11-1\\ \text{(cobre }\{13,15\}) \end{array}
Lista dos implicantes resultantes desta primeira etapa (cada um com os mintermos que cobre):
\begin{array}{ll} 00-0 & \{0,2\}\\\\ 0-00 & \{0,4\}\\\\ 010- & \{4,5\}\\\\ -100 & \{4,12\}\\\\ 01-1 & \{5,7\}\\\\ -101 & \{5,13\}\\\\ 110- & \{12,13\}\\\\ -111 & \{7,15\}\\\\ 11-1 & \{13,15\} \end{array}

Passo 4

Tento combinar estes implicantes gerados (segunda rodada). Combino apenas quando os símbolos - estão nas mesmas posições e há exatamente uma diferença entre os bits fixos.
Combinações possíveis:
\begin{array}{l} -100\\ \text{(}\{4,12\}\text{)}\\ \text{com}\\\ -101\\ \text{(}\{5,13\}\text{)} \to -10-\\ \text{(cobre }\{4,5,12,13\})\\[4pt] 010-\\ \text{(}\{4,5\}\text{)}\\ \text{com}\\\ 110-\\ \text{(}\{12,13\}\text{)} \to -10-\\ \text{(cobre }\{4,5,12,13\})\\[4pt] -101\\ \text{(}\{5,13\}\text{)}\\ \text{com}\\\ -111\\ \text{(}\{7,15\}\text{)} \to -1-1\\ \text{(cobre }\{5,7,13,15\})\\[4pt] 01-1\\ \text{(}\{5,7\}\text{)}\\ \text{com}\\\ 11-1\\ \text{(}\{13,15\}\text{)} \to -1-1\\ \text{(cobre }\{5,7,13,15\}) \end{array}
Observação: -10- apareceu de duas formas (mesmo implicante resultante), e -1-1 também apareceu de duas formas — isso é normal; quer dizer que vários pares conduzem ao mesmo implicante mais geral.]

Passo 5

Determino os implicantes primos: são aqueles que não puderam ser combinados numa etapa posterior. Dos implicantes gerados:
  • Implicantes de segunda rodada (não combináveis mais): -10- e -1-1.
  • Alguns implicantes da primeira rodada não foram combinados em seguida: 00-0 e 0-00.
Logo, a lista de implicantes primos é:
\{\,00-0,\;0-00,\;-10-,\;-1-1\,\}
com as coberturas (relembrando apenas mintermos que interessam — o on-set):
\begin{array}{ll} 00-0 & \text{cobre }\{0,2\}\\\\ 0-00 & \text{cobre }\{0\}\\ (\text{e }4\text{ que é don't care})\\\\ -10- & \text{cobre }\{5\}\\ (\text{e }4,12,13\\ \text{don't cares})\\\\ -1-1 & \text{cobre }\{5,7,15\}\\ (\text{e }13\\ \text{don't care}) \end{array}é

Passo 6

Monta-se a tabela (Prime Implicant Chart) cobrindo apenas os mintermos do on-set \{0,2,5,7,15\}:
\begin{array}{c|ccccc} \text{Implicante} & 0 & 2 & 5 & 7 & 15\\hline 00-0 & \times & \times & & & \\\\ 0-00 & \times & & & & \\\\ -10- & & & \times & & \\\\ -1-1 & & & \times & \times & \times \end{array}
Agora identifico implicantes primos essenciais: um implicante é essencial se existe pelo menos um mintermo que ele cobre sozinho.
  • Mintermo \,2 é coberto apenas por 00-0 00-0 é essencial.
  • Mintermo \,7 é coberto apenas por -1-1 -1-1 é essencial.
  • Mintermo \,15 também só por -1-1, reforçando que -1-1 é essencial.

Passo 7

Escolho os implicantes essenciais e verifico cobertura completa:
  • Seleciono 00-0 (essencial) → cobre mintermos \{0,2\}.
  • Seleciono -1-1 (essencial) → cobre mintermos \{5,7,15\}.
Com essas escolhas, todos os mintermos do on-set \{0,2,5,7,15\} estão cobertos. Não é necessário adicionar mais implicantes (por exemplo 0-00 ou -10-), pois já não restam mintermos descobertos.

Passo 8

Traduzo os implicantes selecionados para termos produto (SOP). Regra de tradução: para cada posição, se o bit é 1 coloca-se a variável positiva, se o bit é 0 coloca-se a variável complementada, se o bit é - omite-se a variável.
  • Para 00-0: bits (A,B,C,D)=(0,0,-,0). Isso equivale a \overline{A}\,\overline{B}\,\overline{D} (o C fica omitido).
  • Para -1-1: bits (A,B,C,D)=(-,1,-,1). Isso equivale a B\,D (apenas B e D aparecem).
Esses dois termos são suficientes e mínimos para cobrir todos os mintermos do on-set.

Resposta

\overline{A}\,\overline{B}\,\overline{D} + B\,D

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