15.10 A transfer function is defined only when all initial conditions are zero.
(a) True
(b) False

Passo 1

O enunciado pergunta se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
“A transfer function is defined only when all initial conditions are zero.”
Informações dadas no enunciado:
  • Trata-se de uma afirmação sobre “transfer function” (função de transferência).
  • É uma questão de Verdadeiro/Falso: (a) True, (b) False.

Passo 2

Vamos lembrar o que usualmente chamamos de função de transferência. Definição prática e direta: a função de transferência H(s) de um sistema linear tempo-invariante (LTI) é a relação entre a transformada de Laplace da saída Y(s) e a transformada de Laplace da entrada U(s) quando assumimos condições iniciais nulas. Em símbolo, usamos a relação
H(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}\quad\text{(com condições iniciais nulas).}çõ
Aqui:
  • \;s\; é a variável complexa do domínio de Laplace.
  • U(s) é a transformada de Laplace da entrada u(t).
  • Y(s) é a transformada de Laplace da saída y(t).

Passo 3

Por que aparece essa condição “condições iniciais nulas”? Porque, ao aplicar a transformada de Laplace em derivadas, surgem termos com as condições iniciais. Regra básica:
\mathcal{L}\{ \dot{y}(t)\} = sY(s)-y(0^-),
\mathcal{L}\{ \ddot{y}(t)\} = s^2Y(s)-s\,y(0^-)-\dot{y}(0^-),
e assim por diante. Esses termos com y(0^-),\dot{y}(0^-),\dots aparecem na equação transformada e impedem que a relação entre Y(s) e U(s) seja simplesmente um quociente puro, a menos que esses termos sejam zero.

Passo 4

Para ver isso bem claro, vamos trabalhar um exemplo simples e desenvolver cada passo (isso também te mostra como fazer numa prova).
Considere um sistema de primeira ordem dado pela equação diferencial
\dot{y}(t)+a\,y(t)=b\,u(t),
onde a e b são constantes. Aplicando a transformada de Laplace (usando as fórmulas do passo anterior) temos
sY(s)-y(0^-)+a\,Y(s)=b\,U(s).
Agrupando Y(s):
(s+a)Y(s)-y(0^-)=b\,U(s).
Isolando Y(s):
Y(s)=\frac{b}{s+a}\,U(s)+\frac{y(0^-)}{s+a}.
Observe duas coisas importantes:
  1. O termo \dfrac{b}{s+a} é independente de y(0^-). Esse quociente é exatamente a função de transferência do sistema:
H(s)=\frac{b}{s+a}.
  1. Quando y(0^-)\neq 0 aparece o termo adicional \dfrac{y(0^-)}{s+a} que representa a resposta livre do sistema devido às condições iniciais. Assim, com condições iniciais não nulas a relação entre Y(s) e U(s) não é apenas Y(s)=H(s)U(s); existe um termo extra.

Passo 5

Interpretação didática e conclusão conceitual:
  • A função de transferência H(s) é uma propriedade do sistema LTI (derivada dos coeficientes diferenciais ou do impulso-resposta) e, portanto, “existe” independentemente das condições iniciais. Em outras palavras, H(s) é o quociente de polinômios que descreve como o sistema transforma sinais no domínio de Laplace.
  • O que exige a hipótese “condições iniciais nulas” é a utilização direta da fórmula prática
Y(s)=H(s)\,U(s)
sem termos adicionais. Se as condições iniciais não são zero, aparecem termos extras na expressão de Y(s), mas isso não impede que H(s) seja definido ou calculado; apenas impede que você ignore a contribuição das condições iniciais na análise da resposta total.

Passo 6

Resposta curta para a prova (tomando cuidado com a linguagem pedida): a afirmação “A transfer function is defined only when all initial conditions are zero” é falsa, porque a função de transferência em si é uma característica do sistema e pode ser definida independentemente das condições iniciais; o que depende de condições iniciais nulas é a relação simples Y(s)=H(s)U(s) sem termos adicionais.

Resposta

(b) False

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