15.10 A transfer function is defined only when all initial conditions are zero.
(a) True
(b) False
(a) True
(b) False
Passo 1
O enunciado pergunta se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
“A transfer function is defined only when all initial conditions are zero.”
Informações dadas no enunciado:
- Trata-se de uma afirmação sobre “transfer function” (função de transferência).
- É uma questão de Verdadeiro/Falso: (a) True, (b) False.
Passo 2
Vamos lembrar o que usualmente chamamos de função de transferência. Definição prática e direta: a função de transferência
de um sistema linear tempo-invariante (LTI) é a relação entre a transformada de Laplace da saída
e a transformada de Laplace da entrada
quando assumimos condições iniciais nulas. Em símbolo, usamos a relação
Aqui:
-
é a variável complexa do domínio de Laplace. -
é a transformada de Laplace da entrada . -
é a transformada de Laplace da saída .
Passo 3
Por que aparece essa condição “condições iniciais nulas”? Porque, ao aplicar a transformada de Laplace em derivadas, surgem termos com as condições iniciais. Regra básica:
e assim por diante. Esses termos com
aparecem na equação transformada e impedem que a relação entre
e
seja simplesmente um quociente puro, a menos que esses termos sejam zero.
Passo 4
Para ver isso bem claro, vamos trabalhar um exemplo simples e desenvolver cada passo (isso também te mostra como fazer numa prova).
Considere um sistema de primeira ordem dado pela equação diferencial
onde
e
são constantes. Aplicando a transformada de Laplace (usando as fórmulas do passo anterior) temos
Agrupando
:
Isolando
:
Observe duas coisas importantes:
- O termo
é independente de . Esse quociente é exatamente a função de transferência do sistema:
- Quando
aparece o termo adicional que representa a resposta livre do sistema devido às condições iniciais. Assim, com condições iniciais não nulas a relação entre e não é apenas ; existe um termo extra.
Passo 5
Interpretação didática e conclusão conceitual:
- A função de transferência
é uma propriedade do sistema LTI (derivada dos coeficientes diferenciais ou do impulso-resposta) e, portanto, “existe” independentemente das condições iniciais. Em outras palavras, é o quociente de polinômios que descreve como o sistema transforma sinais no domínio de Laplace. - O que exige a hipótese “condições iniciais nulas” é a utilização direta da fórmula prática
sem termos adicionais. Se as condições iniciais não são zero, aparecem termos extras na expressão de
, mas isso não impede que
seja definido ou calculado; apenas impede que você ignore a contribuição das condições iniciais na análise da resposta total.
Passo 6
Resposta curta para a prova (tomando cuidado com a linguagem pedida): a afirmação “A transfer function is defined only when all initial conditions are zero” é falsa, porque a função de transferência em si é uma característica do sistema e pode ser definida independentemente das condições iniciais; o que depende de condições iniciais nulas é a relação simples
sem termos adicionais.
Resposta
(b) False