(Valor 2) Encontre a equação da reta perpendicular ao gráfico da função f(x)=\ln \left(3+x^{2}\right), no ponto de abscissa -2 .

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a equação da reta que é perpendicular ao gráfico da função f no ponto de abscissa -2.\n
Informações dadas no enunciado:
f(x)=\ln\bigl(3+x^{2}\bigr)
e o ponto de abscissa é x_{0}=-2.
Portanto precisamos:
  • achar o ponto da curva correspondente a x_{0}=-2, isto é, calcular f(-2);
  • determinar a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente à curva em x=-2 (isso vem da derivada f'(x));
  • obter a inclinação da reta perpendicular (a partir da inclinação da tangente);
  • escrever a equação da reta perpendicular que passa por esse ponto.

Passo 2

Primeiro: como achar a inclinação da reta tangente à curva em um ponto?
A inclinação da reta tangente no ponto de abscissa x_{0} é dada pela derivada f'(x_{0}). Aqui usamos a regra da cadeia para derivar uma função do tipo \ln(u(x)): se
g(x)=\ln\bigl(u(x)\bigr),
então
g'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Explicando em miúdos: a derivada de \ln de algo é a derivada desse “algo” dividida pelo próprio “algo”. Isso vale para qualquer u(x) diferenciável.
No nosso caso escolhemos u(x)=3+x^{2}. Então
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3+x^{2}\bigr)=2x.
Aplicando a fórmula da derivada do logaritmo, obtemos
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{2x}{3+x^{2}}.

Passo 3

Agora calcule a inclinação da tangente em x_{0}=-2 substituindo na expressão de f'(x):
f'(-2)=\frac{2(-2)}{3+(-2)^{2}}=\frac{-4}{3+4}=\frac{-4}{7}.
Interpretação: a reta tangente à curva em x=-2 tem coeficiente angular \dfrac{-4}{7}.
Para obter a reta perpendicular, usamos a propriedade: se uma reta tem coeficiente angular m, então qualquer reta perpendicular a ela tem coeficiente angular igual ao negativo do inverso (recíproco) de m. Em fórmula: se a tangente tem m_{\text{tan}}, a perpendicular tem
m_{\perp}=-\frac{1}{m_{\text{tan}}}.
Aplicando aqui com m_{\text{tan}}=\dfrac{-4}{7},
m_{\perp}=-\frac{1}{-4/7}=\frac{7}{4}.
Observação intuitiva: os produtos dos coeficientes de retas perpendiculares valem -1; de fato \dfrac{-4}{7}\cdot\dfrac{7}{4}=-1.

Passo 4

Agora precisamos do ponto exato da curva em x_{0}=-2, ou seja calcular y_{0}=f(-2):
y_{0}=f(-2)=\ln\bigl(3+(-2)^{2}\bigr)=\ln(3+4)=\ln(7).
Então o ponto de contato é \bigl(-2,\ln(7)\bigr).

Passo 5

Com o coeficiente angular da reta perpendicular m_{\perp}=\dfrac{7}{4} e o ponto \bigl(-2,\ln(7)\bigr), usamos a forma ponto-inclinação da equação da reta:
y-y_{0}=m_{\perp}\bigl(x-x_{0}\bigr).
Substituindo x_{0}=-2, y_{0}=\ln(7) e m_{\perp}=\dfrac{7}{4}, obtemos
y-\ln(7)=\frac{7}{4}\bigl(x-(-2)\bigr)=\frac{7}{4}(x+2).
Podemos isolar y para obter a forma explícita:
y=\frac{7}{4}x+\frac{7}{2}+\ln(7).

Resposta

y-\ln(7)=\frac{7}{4}(x+2)

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