(Valor 2) Encontre a equação da reta perpendicular ao gráfico da função
, no ponto de abscissa -2 .
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a equação da reta que é perpendicular ao gráfico da função
no ponto de abscissa
.\n
Informações dadas no enunciado:
Informações dadas no enunciado:
e o ponto de abscissa é
.
Portanto precisamos:
Portanto precisamos:
- achar o ponto da curva correspondente a
, isto é, calcular ; - determinar a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente à curva em
(isso vem da derivada ); - obter a inclinação da reta perpendicular (a partir da inclinação da tangente);
- escrever a equação da reta perpendicular que passa por esse ponto.
Passo 2
Primeiro: como achar a inclinação da reta tangente à curva em um ponto?
A inclinação da reta tangente no ponto de abscissa é dada pela derivada
. Aqui usamos a regra da cadeia para derivar uma função do tipo
: se
A inclinação da reta tangente no ponto de abscissa
então
Explicando em miúdos: a derivada de
de algo é a derivada desse “algo” dividida pelo próprio “algo”. Isso vale para qualquer
diferenciável.
No nosso caso escolhemos
. Então
Aplicando a fórmula da derivada do logaritmo, obtemos
Passo 3
Agora calcule a inclinação da tangente em
substituindo na expressão de
:
Interpretação: a reta tangente à curva em
tem coeficiente angular
.
Para obter a reta perpendicular, usamos a propriedade: se uma reta tem coeficiente angular
, então qualquer reta perpendicular a ela tem coeficiente angular igual ao negativo do inverso (recíproco) de
. Em fórmula: se a tangente tem
, a perpendicular tem
Aplicando aqui com
,
Observação intuitiva: os produtos dos coeficientes de retas perpendiculares valem
; de fato
.
Passo 4
Agora precisamos do ponto exato da curva em
, ou seja calcular
:
Então o ponto de contato é
.
Passo 5
Com o coeficiente angular da reta perpendicular
e o ponto
, usamos a forma ponto-inclinação da equação da reta:
Substituindo
,
e
, obtemos
Podemos isolar
para obter a forma explícita: