Calcule h^{\prime}(x) para h(x)=\ln (\operatorname{sen} x)-\ln (\cos x)
a) \operatorname{sec} x \cdot \operatorname{cosec} x
b) \cot x
c) \operatorname{sen} x \cdot \cos x
d) \tan x
\bigcirc a)
\bigcirc b)
\bigcirc c)
\bigcirc d)

Passo 1

O enunciado dá a função h(x)=\ln(\operatorname{sen} x)-\ln(\cos x) e pede para calcular h^{\prime}(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é a diferença de dois logaritmos naturais: \ln(\operatorname{sen} x) e \ln(\cos x).
  • As opções de resposta são:
    a) \operatorname{sec} x \cdot \operatorname{cosec} x
    b) \cot x
    c) \operatorname{sen} x \cdot \cos x
    d) \tan x
  • Observação sobre domínio (importante para derivada): devemos exigir \operatorname{sen} x \neq 0 e \cos x \neq 0 para que os logaritmos e a derivada existam.

Passo 2

Regra que vamos usar: a derivada do logaritmo natural de uma função composta. Se u(x) é uma função diferenciável, então
\frac{d}{dx}\ln(u(x))=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Isto vem da regra da cadeia: derivamos a função exterior \ln(\cdot) que dá 1/u e multiplicamos pela derivada da função interior u'(x). Aqui aplicaremos isso separadamente a cada termo \ln(\operatorname{sen} x) e \ln(\cos x).

Passo 3

Derivando o primeiro termo \ln(\operatorname{sen} x). Tomamos u(x)=\operatorname{sen} x. Então u'(x)=\cos x. Aplicando a fórmula:
\frac{d}{dx}\ln(\operatorname{sen} x)=\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x}.
Essa razão \frac{\cos x}{\operatorname{sen} x} é a definição da função \cot x, logo podemos escrever:
\frac{d}{dx}\ln(\operatorname{sen} x)=\cot x.

Passo 4

Derivando o segundo termo \ln(\cos x). Tomamos v(x)=\cos x. Então v'(x)=-\operatorname{sen} x. Aplicando a fórmula:
\frac{d}{dx}\ln(\cos x)=\frac{-\operatorname{sen} x}{\cos x}=-\tan x.
Agora lembrando que no h(x) esse termo aparece com sinal negativo, ou seja temos -\ln(\cos x). Assim a derivada desse pedaço é
\frac{d}{dx}\bigl(-\ln(\cos x)\bigr)=-\bigl(-\tan x\bigr)=\tan x.

Passo 5

Somando as derivadas dos dois termos obtemos
h^{\prime}(x)=\cot x+\tan x.
Expliquei antes que \cot x=\dfrac{\cos x}{\operatorname{sen} x} e \tan x=\dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x}.

Passo 6

Vamos simplificar \cot x+\tan x em uma única fração. Colocando sobre o mesmo denominador:
\cot x+\tan x=\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x}+\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} =\frac{\cos^2 x+\operatorname{sen}^2 x}{\operatorname{sen} x\cos x}.

Passo 7

Usamos a identidade trigonométrica fundamental \cos^2 x+\operatorname{sen}^2 x=1. Substituindo na fração:
\cot x+\tan x=\frac{1}{\operatorname{sen} x\cos x}.
Agora escrevemos isso em termos de secante e cossecante: \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x} e \operatorname{cosec} x=\dfrac{1}{\operatorname{sen} x}. Portanto
\frac{1}{\operatorname{sen} x\cos x}=\operatorname{sec} x\cdot\operatorname{cosec} x.

Passo 8

Concluímos que a derivada é igual à opção a). Lembre-se do domínio: essa expressão só faz sentido quando \operatorname{sen} x\neq 0 e \cos x\neq 0.

Resposta

a) \operatorname{sec} x \cdot \operatorname{cosec} x

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