Calcule
para
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é a diferença de dois logaritmos naturais:
e . - As opções de resposta são:
a)
b)
c)
d) - Observação sobre domínio (importante para derivada): devemos exigir
e para que os logaritmos e a derivada existam.
Passo 2
Regra que vamos usar: a derivada do logaritmo natural de uma função composta. Se
é uma função diferenciável, então
Isto vem da regra da cadeia: derivamos a função exterior
que dá
e multiplicamos pela derivada da função interior
. Aqui aplicaremos isso separadamente a cada termo
e
.
Passo 3
Derivando o primeiro termo
. Tomamos
. Então
. Aplicando a fórmula:
Essa razão
é a definição da função
, logo podemos escrever:
Passo 4
Derivando o segundo termo
. Tomamos
. Então
. Aplicando a fórmula:
Agora lembrando que no
esse termo aparece com sinal negativo, ou seja temos
. Assim a derivada desse pedaço é
Passo 5
Somando as derivadas dos dois termos obtemos
Expliquei antes que
e
.
Passo 6
Vamos simplificar
em uma única fração. Colocando sobre o mesmo denominador:
Passo 7
Usamos a identidade trigonométrica fundamental
. Substituindo na fração:
Agora escrevemos isso em termos de secante e cossecante:
e
. Portanto
Passo 8
Concluímos que a derivada é igual à opção a). Lembre-se do domínio: essa expressão só faz sentido quando
e
.
Resposta
a)