Qual é o valor esperado da posição
para o estado fundamental
do oscilador harmônico quântico?
a.
b.
c.
d.
e.
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre o valor esperado da posição
para o estado fundamental de um oscilador harmônico quântico. Aqui, estamos lidando com a mecânica quântica, especificamente com os estados fundamentais de um sistema oscilatório. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o valor esperado e como calcular usando a função de onda do estado fundamental.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o valor esperado de uma posição, que é basicamente a média ponderada das posições possíveis que a partícula pode ocupar, de acordo com a sua função de onda. Matemáticamente, o valor esperado
é dado por:
Onde:
-
é a função de onda do estado considerado. -
é o complexo conjugado da função de onda (no caso do estado fundamental, que é real, ). -
é a posição. - A integral vai de
a porque a partícula pode estar em qualquer posição ao longo do eixo x.
Passo 3
Agora, vamos usar a função de onda dada para o estado fundamental:
Aqui,
é a constante de normalização que garante que a probabilidade total seja 1. No entanto, para calcular o valor esperado, não precisamos determinar
exatamente, pois ele se cancelará na equação.
Observemos que a função
é uma função par, ou seja, é simétrica em torno de
. Quando multiplicamos essa função par por
, que é uma função ímpar (pois
muda de sinal quando
vai para
), o produto
se torna uma função ímpar.
A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero (de
a
) é zero. Isso ocorre porque as áreas positivas e negativas se cancelam.
Portanto:
Resposta
a.