Qual é o valor esperado da posição lang<= xrang<= para o estado fundamental (psi0(x)=A e^-max ^22 hbar) do oscilador harmônico quântico?
a. lang<= xrang<==0
b. lang<= xrang<==hbar omega
c. lang<= xrang<==raizhbar2 m omega
d. lang<= xrang<==hbar2
e. lang<= xrang<==omega

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre o valor esperado da posição lang<= x rang<= para o estado fundamental de um oscilador harmônico quântico. Aqui, estamos lidando com a mecânica quântica, especificamente com os estados fundamentais de um sistema oscilatório. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o valor esperado e como calcular usando a função de onda do estado fundamental.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o valor esperado de uma posição, que é basicamente a média ponderada das posições possíveis que a partícula pode ocupar, de acordo com a sua função de onda. Matemáticamente, o valor esperado lang<= x rang<= é dado por:
lang<= x rang<= = integral-infty^infty psi^*(x) , x , psi(x) , dx
Onde:
  • psi(x) é a função de onda do estado considerado.
  • psi^*(x) é o complexo conjugado da função de onda (no caso do estado fundamental, que é real, psi^*(x) = psi(x)).
  • x é a posição.
  • A integral vai de -infty a infty porque a partícula pode estar em qualquer posição ao longo do eixo x.

Passo 3

Agora, vamos usar a função de onda dada para o estado fundamental:
psi0(x) = A e^-x^22 hbar
Aqui, A é a constante de normalização que garante que a probabilidade total seja 1. No entanto, para calcular o valor esperado, não precisamos determinar A exatamente, pois ele se cancelará na equação.
Observemos que a função e^-x^22 hbar é uma função par, ou seja, é simétrica em torno de x = 0. Quando multiplicamos essa função par por x, que é uma função ímpar (pois x muda de sinal quando x vai para -x), o produto psi^*(x) , x , psi(x) se torna uma função ímpar.
A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero (de -infty a infty) é zero. Isso ocorre porque as áreas positivas e negativas se cancelam.
Portanto:
lang<= x rang<= = integral-infty^infty A e^-x^22 hbar , x , A e^-x^22 hbar , dx = A^2 integral-infty^infty x e^-x^2hbar , dx = 0

Resposta

a. lang<= xrang<==0

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