O valor da expressão
é igual a qual elemento do Triângulo de Pascal?
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede para avaliar a expressão
e identificar qual das alternativas corresponde a esse valor. Informações dadas:
- A expressão a calcular é
. - As alternativas são:
- a)
- b)
- c)
- d)
- a)
Passo 2
Primeiro, lembrar o que é o coeficiente binomial. Para
e
inteiros com
, define-se
onde
(fatorial) significa
e por convenção
. Essa fórmula dá o número de maneiras de escolher
elementos dentre
sem ordem.
Passo 3
Calcular
usando a fórmula. Temos
Ou de forma rápida:
.
Passo 4
Calcular
. Pela simetria do coeficiente binomial vale
, então
Também poderia ser calculado diretamente pela fórmula, que dá o mesmo resultado.
Passo 5
Somar os dois termos:
Passo 6
Agora mostrar uma identidade útil (identidade de Pascal) que ajuda a relacionar somas de binomiais:
Aplicando com
e
obtemos
Uma explicação combinatória rápida: para escolher
elementos de um conjunto de
, fixe um elemento especial; ou ele é escolhido (escolher os outros
dentre os
restantes:
maneiras) ou não é escolhido (escolher
dentre os
restantes:
maneiras). Somando os casos dá
.
Passo 7
Verificação numérica direta de
:
que coincide com o valor encontrado na soma.
Resposta
a)