O valor da expressão \binom{5}{2}+\binom{5}{3} é igual a qual elemento do Triângulo de Pascal?
a) \binom{6}{3}
b) \binom{6}{2}
c) \binom{5}{4}
d) \binom{10}{5}

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a expressão \binom{5}{2}+\binom{5}{3} e identificar qual das alternativas corresponde a esse valor. Informações dadas:
  • A expressão a calcular é \binom{5}{2}+\binom{5}{3}.
  • As alternativas são:
    • a) \binom{6}{3}
    • b) \binom{6}{2}
    • c) \binom{5}{4}
    • d) \binom{10}{5}

Passo 2

Primeiro, lembrar o que é o coeficiente binomial. Para n e k inteiros com 0\le k\le n, define-se
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) significa n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1 e por convenção 0!=1. Essa fórmula dá o número de maneiras de escolher k elementos dentre n sem ordem.

Passo 3

Calcular \binom{5}{2} usando a fórmula. Temos
\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{(2\cdot1)\cdot(3\cdot2\cdot1)}=\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=10.
Ou de forma rápida: \binom{5}{2}=\dfrac{5\cdot4}{2}=10.

Passo 4

Calcular \binom{5}{3}. Pela simetria do coeficiente binomial vale \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}, então
\binom{5}{3}=\binom{5}{2}=10.
Também poderia ser calculado diretamente pela fórmula, que dá o mesmo resultado.

Passo 5

Somar os dois termos:
\binom{5}{2}+\binom{5}{3}=10+10=20.

Passo 6

Agora mostrar uma identidade útil (identidade de Pascal) que ajuda a relacionar somas de binomiais:
\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}.
Aplicando com n=5 e k=2 obtemos
\binom{5}{2}+\binom{5}{3}=\binom{6}{3}.
Uma explicação combinatória rápida: para escolher 3 elementos de um conjunto de 6, fixe um elemento especial; ou ele é escolhido (escolher os outros 2 dentre os 5 restantes: \binom{5}{2} maneiras) ou não é escolhido (escolher 3 dentre os 5 restantes: \binom{5}{3} maneiras). Somando os casos dá \binom{6}{3}.

Passo 7

Verificação numérica direta de \binom{6}{3}:
\binom{6}{3}=\frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1}=20,
que coincide com o valor encontrado na soma.

Resposta

a) \binom{6}{3}

Exercícios relacionados