Uma urna contém 30 bolas, numeradas de 1 a 30 . Retirando-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de que o número seja múltiplo de 3 ou de 7 ?
a) 1 / 3
b) 7 / 15
c) 1 / 2
d) 13 / 30

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Uma urna contém \,30\, bolas, numeradas de \,1\, a \,30\,.
  • Retira-se uma bola ao acaso (todas as bolas igualmente prováveis).
O enunciado pergunta claramente:
  • Qual a probabilidade de que o número sorteado seja múltiplo de \,3\, ou de \,7\,?

Passo 2

Ideia e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma simples).
  • Em probabilidade clássica, se todos os resultados são igualmente prováveis, a probabilidade de um evento é
P(\text{evento})=\frac{\text{nº de casos favoráveis}}{\text{nº de casos possíveis}}.ºáºí
Aqui o nº de casos possíveis é \,30\, (as \,30\, bolas).
  • Seja A o evento “número múltiplo de \,3\,” e B o evento “número múltiplo de \,7\,”. Queremos P(A\cup B) (múltiplo de \,3 ou de \,7).
  • Para uniões usamos a fórmula da inclusão-exclusão:
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Explicação rápida: somamos as probabilidades de A e B mas subtraímos a interseção A\cap B porque os elementos que são múltiplos de ambos foram contados duas vezes.

Passo 3

Contar os múltiplos de \,3\, entre \,1 e \,30.
  • Um número é múltiplo de \,3\, se é 3k para algum inteiro k.
  • O maior k com 3k\le30 é k=\left\lfloor\frac{30}{3}\right\rfloor.
\left\lfloor\frac{30}{3}\right\rfloor=10.
Portanto há \,10\, números múltiplos de \,3 (são \,3,6,9,\dots,30).

Passo 4

Contar os múltiplos de \,7\, entre \,1 e \,30.
  • O maior k com 7k\le30 é k=\left\lfloor\frac{30}{7}\right\rfloor.
\left\lfloor\frac{30}{7}\right\rfloor=4.
Portanto há \,4\, números múltiplos de \,7 (são \,7,14,21,28).

Passo 5

Contar a interseção A\cap B: números múltiplos de \,3 e de \,7 simultaneamente.
  • Esses são múltiplos do mínimo múltiplo comum \operatorname{lcm}(3,7)=21.
  • O número de múltiplos de \,21\, até \,30\, é \left\lfloor\frac{30}{21}\right\rfloor.
\left\lfloor\frac{30}{21}\right\rfloor=1.
Então há \,1\, número que é múltiplo de ambos (o \,21).

Passo 6

Aplicar a inclusão-exclusão para obter o nº de casos favoráveis e a probabilidade.
  • Nº de casos favoráveis:
\#(A\cup B)=\#A+\#B-\#(A\cap B)=10+4-1=13.
  • Como há \,30\, casos possíveis, a probabilidade é
P(A\cup B)=\frac{13}{30}.

Passo 7

Checagem rápida e incentivo: \dfrac{13}{30} corresponde a cerca de 0{,}433 (ou 43{,}3\%). Seguiu a conta passo a passo: contei múltiplos de cada tipo e usei a inclusão-exclusão para não contar duas vezes os que são múltiplos de ambos. Dá para fazer isso bem rápido na prova — respira fundo, conta e aplica a fórmula.

Resposta

d) \dfrac{13}{30}

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