Uma urna contém 30 bolas, numeradas de 1 a 30 . Retirando-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de que o número seja múltiplo de 3 ou de 7 ?
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Uma urna contém
bolas, numeradas de a . - Retira-se uma bola ao acaso (todas as bolas igualmente prováveis).
O enunciado pergunta claramente:
- Qual a probabilidade de que o número sorteado seja múltiplo de
ou de ?
Passo 2
Ideia e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma simples).
- Em probabilidade clássica, se todos os resultados são igualmente prováveis, a probabilidade de um evento é
Aqui o nº de casos possíveis é
(as
bolas).
- Seja
o evento “número múltiplo de ” e o evento “número múltiplo de ”. Queremos (múltiplo de ou de ). - Para uniões usamos a fórmula da inclusão-exclusão:
Explicação rápida: somamos as probabilidades de
e
mas subtraímos a interseção
porque os elementos que são múltiplos de ambos foram contados duas vezes.
Passo 3
Contar os múltiplos de
entre
e
.
- Um número é múltiplo de
se é para algum inteiro . - O maior
com é .
Portanto há
números múltiplos de
(são
).
Passo 4
Contar os múltiplos de
entre
e
.
- O maior
com é .
Portanto há
números múltiplos de
(são
).
Passo 5
Contar a interseção
: números múltiplos de
e de
simultaneamente.
- Esses são múltiplos do mínimo múltiplo comum
. - O número de múltiplos de
até é .
Então há
número que é múltiplo de ambos (o
).
Passo 6
Aplicar a inclusão-exclusão para obter o nº de casos favoráveis e a probabilidade.
- Nº de casos favoráveis:
- Como há
casos possíveis, a probabilidade é
Passo 7
Checagem rápida e incentivo:
corresponde a cerca de
(ou
). Seguiu a conta passo a passo: contei múltiplos de cada tipo e usei a inclusão-exclusão para não contar duas vezes os que são múltiplos de ambos. Dá para fazer isso bem rápido na prova — respira fundo, conta e aplica a fórmula.
Resposta
d)