O valor finito da resistividade elétrica dos dielétricos utilizados nos capacitores resulta em correntes não-nulas entre as placas do capacitor, denominadas correntes de fuga. Considere um capacitor de placas planas preenchido com um dielétrico de constante dielétrica K e resistividade \rho. Uma figura de mérito do capacitor é o produto R C, denominado constante de tempo.
(a) Mostre que R C tem dimensão de tempo.
(b) Mostre que a corrente de fuga no capacitor é I=\frac{q}{R C}.
(c) Mostre que R C=\rho K \epsilon_{0}.
(d) Calcule R C para a sílica, para a qual K=3,8 \mathrm{e} \rho=7,5 \times 10^{17} \Omega \cdot \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado trata de um capacitor de placas planas preenchido com dielétrico de constante dielétrica K e resistividade \rho. Define-se uma resistência efetiva R entre as placas (devido à resistividade finita) e a capacitância usual C. A figura de mérito é o produto R\,C, chamado constante de tempo. Vamos:
– (a) verificar que R\,C tem dimensão de tempo;
– (b) mostrar que a corrente de fuga satisfaz I=\tfrac{q}{R\,C};
– (c) expressar R\,C em termos de \rho, K e \epsilon_0;
– (d) calcular numericamente R\,C para sílica com K=3,8 e \rho=7,5\times10^{17}\,\Omega\cdot\mathrm m.

Passo 2

Para (a) usamos as definições de unidade:
– A resistência R tem unidade \Omega=\tfrac{\mathrm V}{\mathrm A}.
– A capacitância C tem unidade \mathrm F=\tfrac{\mathrm C}{\mathrm V}.
Logo,
R\,C=\Bigl(\frac{\mathrm V}{\mathrm A}\Bigr)\Bigl(\frac{\mathrm C}{\mathrm V}\Bigr) =\frac{\mathrm C}{\mathrm A}.
Como corrente \mathrm I tem dimensão \mathrm A=\tfrac{\mathrm C}{\mathrm s}, temos \tfrac{\mathrm C}{\mathrm A}=\mathrm s. Assim, R\,C tem dimensão de tempo.

Passo 3

Para (b) note que a tensão entre as placas é V=q/C. A corrente de fuga é a corrente por R sob tensão V, ou seja
I=\frac{V}{R}=\frac{q/C}{R} =\frac{q}{R\,C}.
Isso mostra a fórmula desejada.

Passo 4

Para (c) usamos as fórmulas elementares de capacitor de placas planas separadas por distância d e área A:
R da camada dielétrica é
R=\rho\,\frac{d}{A},
C é
C=K\,\epsilon_0\,\frac{A}{d}.
Multiplicando,
R\,C=\bigl(\rho\,\tfrac{d}{A}\bigr)\bigl(K\,\epsilon_0\,\tfrac{A}{d}\bigr) =\rho\,K\,\epsilon_0.

Passo 5

Para (d) basta usar
\rho=7,5\times10^{17}\,\Omega\cdot\mathrm m,
K=3,8 e \epsilon_0=8,85\times10^{-12}\,\mathrm F/m.
R\,C=\rho\,K\,\epsilon_0 =7{,}5\times10^{17}\times3{,}8\times8{,}85\times10^{-12}\;\mathrm s \approx2{,}5\times10^{7}\;\mathrm s.

Resposta

(a) R\,C tem dimensão de tempo.
(b) I=\dfrac{q}{R\,C}.
(c) R\,C=\rho\,K\,\epsilon_{0}.
(d) R\,C\approx2,5\times10^{7}\\ \mathrm{s}.

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