4*. Seguindo procedimento análogo ao do Problema 2, calcule a constante de tempo de um capacitor esférico preenchido por um dielétrico, cujo raio interno é a e o externo é b. O que pode-se concluir calculando R C para os Problemas 2,3 e 4 ?

Passo 1

O enunciado pede a constante de tempo \tau de um capacitor esférico de raios interno a e externo b preenchido por um dielétrico de permissividade \varepsilon\varepsilon_{0} e condutividade \sigma. Vamos precisar de (i) capacitância de um capacitor esférico e (ii) resistência ôhmica do material entre as esferas, modelado como um resistor radial.

Passo 2

A capacitância de um capacitor esférico de raios a e b no vácuo seria
C_{0} = 4\pi\varepsilon_{0}\,\frac{ab}{b - a}\,,
logo, com um dielétrico de constante \varepsilon,
C = \varepsilon\,C_{0} = 4\pi\varepsilon\varepsilon_{0}\,\frac{ab}{b - a}\,.

Passo 3

A resistência entre as esferas é obtida integrando a resistividade \rho = 1/\sigma ao longo de trajetórias radiais. Um elemento de resistência é
\mathrm{d}R = \rho\,\frac{\mathrm{d}r}{A(r)} \quad\text{com}\quad A(r) = 4\pi r^{2}\,.
Integrando de r=a a r=b:
R = \int_{a}^{b}\frac{1}{\sigma}\,\frac{\mathrm{d}r}{4\pi r^{2}} = \frac{1}{4\pi\sigma}\Bigl(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\Bigr) = \frac{1}{4\pi\sigma}\,\frac{b - a}{ab}\,.

Passo 4

A constante de tempo é
\tau = R\,C = \Bigl(\frac{1}{4\pi\sigma}\,\frac{b - a}{ab}\Bigr) \Bigl(4\pi\varepsilon\varepsilon_{0}\,\frac{ab}{b - a}\Bigr) = \frac{\varepsilon\varepsilon_{0}}{\sigma}\,.

Passo 5

Para os Problemas 2 (placas paralelas), 3 (cilíndrico) e 4 (esférico) obtemos sempre
\tau = R\,C = \frac{\varepsilon\varepsilon_{0}}{\sigma}\,,
ou seja, a constante de tempo não depende da geometria do capacitor, apenas das propriedades do dielétrico. Isso coincide com o chamado tempo de relaxação dielétrica.

Resposta

\displaystyle \tau = RC = \frac{\varepsilon\varepsilon_{0}}{\sigma}.
Conclusão: para as três geometrias, RC é igual a \varepsilon\varepsilon_{0}/\sigma, independente de a, b ou outras dimensões.

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