(Valor: 1,0) Para a função f(x, y)=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}} responda:
a) Determine e esboce o dominio da função.
b) Qual é a imagem de f(x, y) ?

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}} e pede duas coisas:
a) Determinar e esboçar o domínio da função.
b) Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de f).
Informações relevantes que o enunciado fornece (e que vamos usar): a expressão envolve uma raiz quadrada. Para que \sqrt{\cdot} esteja definida em números reais, o radicando deve ser maior ou igual a zero. Ou seja, a condição 1-x^{2}-y^{2}\ge 0 será necessária para que f(x,y) esteja bem definida.

Passo 2

O que significa “domínio” aqui? Domínio é o conjunto de todos os pares (x,y) para os quais a expressão de f(x,y) faz sentido (está definida como número real). Como vimos no Passo 1, o requisito é que o radicando seja não negativo:
1-x^{2}-y^{2}\ge 0.
Vamos manipular essa desigualdade para escrever o domínio numa forma geométrica clara.

Passo 3

Resolvendo a desigualdade do radicando:
1-x^{2}-y^{2}\ge 0
subtraindo 1 dos dois lados e multiplicando por -1 (o que inverte a desigualdade) ou apenas rearranjando, obtemos
x^{2}+y^{2}\le 1.
Essa é a equação-inequação bem conhecida de um disco no plano: o conjunto de pontos cuja soma dos quadrados das coordenadas é menor ou igual a 1. Especificamente, é o disco fechado de centro (0,0) e raio 1.

Passo 4

Como esboçar o domínio (dicas práticas para a prova):
  • Desenhe os eixos x e y.
  • Marque o ponto (0,0) como centro.
  • Desenhe a circunferência de raio 1 centrada na origem (passa por (1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)).
  • O domínio é toda a região dentro dessa circunferência inclusive a fronteira (porque a desigualdade é \le). Ou seja, preencha o disco inteiro e sombreie/lembre-se que a borda está incluída.
Portanto, o domínio é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}.

Passo 5

Agora vamos achar a imagem (o conjunto de valores que f pode assumir). Pelo domínio sabemos que para qualquer (x,y) válido temos
0\le 1-x^{2}-y^{2}\le 1.
Aplicando a função raiz quadrada (que é crescente em [0,\infty)) em toda essa desigualdade obtemos
0\le \sqrt{1-x^{2}-y^{2}}\le 1.
Ou seja, para quaisquer (x,y) do domínio, f(x,y) fica entre 0 e 1.

Passo 6

Precisamos mostrar que todos os valores entre 0 e 1 são realmente atingidos (para garantir que a imagem é exatamente [0,1] e não um subintervalo). Seja t qualquer número em [0,1]. Considere o ponto
(x,y)=\bigl(\sqrt{1-t^{2}},\,0\bigr).
Note que \bigl(\sqrt{1-t^{2}}\bigr)^{2}+0^{2}=1-t^{2}\le 1, então esse ponto está no domínio. Avaliando f nele:
f\bigl(\sqrt{1-t^{2}},0\bigr)=\sqrt{1-(1-t^{2})}=\sqrt{t^{2}}=t,
porque t\ge 0. Assim qualquer t\in[0,1] é realmente obtido por f. Portanto a imagem é todo o intervalo [0,1].

Passo 7

Interpretação geométrica adicional (útil para entender rapidamente): ao definir z=f(x,y) temos z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}, que ao quadrado dá z^{2}=1-x^{2}-y^{2}, ou
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,\qquad z\ge 0.
Isso é a semiesfera superior (hemisfério) de raio 1. O domínio no plano xy é a projeção desse hemisfério, isto é, o disco fechado de raio 1. O valor máximo de z é 1 (no centro) e o mínimo é 0 (na borda).

Resposta

a) \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le 1\} (disco fechado de raio 1 centrado na origem).
b) [0,1].

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