(Valor: 1,0) Para a função
responda:
a) Determine e esboce o dominio da função.
b) Qual é a imagem de
?
a) Determine e esboce o dominio da função.
b) Qual é a imagem de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
a) Determinar e esboçar o domínio da função.
b) Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de ).
a) Determinar e esboçar o domínio da função.
b) Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de
Informações relevantes que o enunciado fornece (e que vamos usar): a expressão envolve uma raiz quadrada. Para que
esteja definida em números reais, o radicando deve ser maior ou igual a zero. Ou seja, a condição
será necessária para que
esteja bem definida.
Passo 2
O que significa “domínio” aqui? Domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a expressão de
faz sentido (está definida como número real). Como vimos no Passo 1, o requisito é que o radicando seja não negativo:
Vamos manipular essa desigualdade para escrever o domínio numa forma geométrica clara.
Passo 3
Resolvendo a desigualdade do radicando:
subtraindo
dos dois lados e multiplicando por
(o que inverte a desigualdade) ou apenas rearranjando, obtemos
Essa é a equação-inequação bem conhecida de um disco no plano: o conjunto de pontos cuja soma dos quadrados das coordenadas é menor ou igual a
. Especificamente, é o disco fechado de centro
e raio
.
Passo 4
Como esboçar o domínio (dicas práticas para a prova):
- Desenhe os eixos
e . - Marque o ponto
como centro. - Desenhe a circunferência de raio
centrada na origem (passa por ). - O domínio é toda a região dentro dessa circunferência inclusive a fronteira (porque a desigualdade é
). Ou seja, preencha o disco inteiro e sombreie/lembre-se que a borda está incluída.
Portanto, o domínio é
Passo 5
Agora vamos achar a imagem (o conjunto de valores que
pode assumir). Pelo domínio sabemos que para qualquer
válido temos
Aplicando a função raiz quadrada (que é crescente em
) em toda essa desigualdade obtemos
Ou seja, para quaisquer
do domínio,
fica entre
e
.
Passo 6
Precisamos mostrar que todos os valores entre
e
são realmente atingidos (para garantir que a imagem é exatamente
e não um subintervalo). Seja
qualquer número em
. Considere o ponto
Note que
, então esse ponto está no domínio. Avaliando
nele:
porque
. Assim qualquer
é realmente obtido por
. Portanto a imagem é todo o intervalo
.
Passo 7
Interpretação geométrica adicional (útil para entender rapidamente): ao definir
temos
, que ao quadrado dá
, ou
Isso é a semiesfera superior (hemisfério) de raio
. O domínio no plano
é a projeção desse hemisfério, isto é, o disco fechado de raio
. O valor máximo de
é
(no centro) e o mínimo é
(na borda).
Resposta
a)
(disco fechado de raio
centrado na origem).
b) .
b)