Com o tema de derivadas parciais, calcule as questões a seguir:
f(x, y)=\ln \left(x^{2}+y^{2}\right), encontre f_{x x}, f_{y y} e f_{x y}.

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x,y)=\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) e pede para encontrar as segundas derivadas parciais \displaystyle f_{xx}, \displaystyle f_{yy} e \displaystyle f_{xy}.
Informações relevantes fornecidas:
\displaystyle a função explícita \displaystyle f(x,y)=\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
\displaystyle queremos as segundas derivadas parciais (duas vezes em x, duas vezes em y e a mista).

Passo 2

Conceito e estratégia para começar: para obter as segundas derivadas parciais devemos primeiro calcular as primeiras derivadas parciais \displaystyle f_x e \displaystyle f_y.
Lembrete útil (regra da cadeia para logaritmo): se g(u)=\ln(u) então g'(u)=\dfrac{1}{u}. Assim, para \displaystyle f(x,y)=\ln\bigl(u(x,y)\bigr) temos
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
Aqui \displaystyle u(x,y)=x^{2}+y^{2}. Agora aplicamos isso passo a passo.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle f_x. Primeiro calcule \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} com u=x^{2}+y^{2}. Como y é tratado como constante ao derivar em relação a x,
\frac{\partial u}{\partial x}=2x.
Usando a regra da cadeia para \ln:
\displaystyle f_x=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot 2x=\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}.
Expliquei cada passo: derivada do interior 2x, dividir pelo interior x^{2}+y^{2}.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle f_y. Analogamente, ao derivar u=x^{2}+y^{2} em relação a y tratamos x como constante:
\frac{\partial u}{\partial y}=2y.
Portanto, pela regra da cadeia,
\displaystyle f_y=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot 2y=\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 5

Agora vamos para \displaystyle f_{xx}, ou seja, derivar \displaystyle f_x=\dfrac{2x}{x^{2}+y^{2}} em relação a x. Aqui usamos a regra do quociente: se \displaystyle h(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} então
h'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^{2}}.
No nosso caso, para derivar em x mantendo y constante, tome u(x)=2x e v(x)=x^{2}+y^{2}. Então u'(x)=2 e v'(x)=2x. Aplicando a fórmula:
\begin{aligned} f_{xx} &=\frac{2\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)-2x\cdot 2x}{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}}\\[6pt] &=\frac{2x^{2}+2y^{2}-4x^{2}}{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}}\\[6pt] &=\frac{-2x^{2}+2y^{2}}{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}}\\[6pt] &=\frac{2\bigl(y^{2}-x^{2}\bigr)}{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}}. \end{aligned}
Cada linha é uma simplificação algébrica passo a passo: aplicação do quociente, soma dos termos no numerador e fatoração final.]

Passo 6

Cálculo de \displaystyle f_{yy}. Derivamos \displaystyle f_y=\dfrac{2y}{x^{2}+y^{2}} em relação a y. Novamente usamos a regra do quociente, agora com u(y)=2y e v(y)=x^{2}+y^{2}. Temos u'(y)=2 e v'(y)=2y. Então:
\begin{aligned} f_{yy} &=\frac{2\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)-2y\cdot 2y}{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}}\\[6pt] &=\frac{2x^{2}+2y^{2}-4y^{2}}{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}}\\[6pt] &=\frac{2x^{2}-2y^{2}}{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}}\\[6pt] &=\frac{2\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)}{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}}. \end{aligned}]

Passo 7

Cálculo de \displaystyle f_{xy}. Podemos derivar \displaystyle f_x=\dfrac{2x}{x^{2}+y^{2}} em relação a y (mantendo x fixo). Use-se novamente a regra do quociente, mas agora u(y)=2x (constante em y, então u'(y)=0) e v(y)=x^{2}+y^{2} com v'(y)=2y. Aplicando a fórmula:
\begin{aligned} f_{xy} &=\frac{0\cdot\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)-2x\cdot 2y}{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}}\\[6pt] &=\frac{-4xy}{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}}. \end{aligned}
Se quiser, pode também derivar \displaystyle f_y em relação a x e verá o mesmo resultado (simetria \displaystyle f_{xy}=f_{yx} vale quando a função é suficientemente suave, como aqui).]

Resposta

f_{xx}=\dfrac{2\bigl(y^{2}-x^{2}\bigr)}{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}}
f_{yy}=\dfrac{2\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)}{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}}
f_{xy}=-\dfrac{4xy}{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}}

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