Com o tema de derivadas parciais, calcule as questões a seguir:
, encontre
e
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar as segundas derivadas parciais
,
e
.
Informações relevantes fornecidas:
a função explícita
.
queremos as segundas derivadas parciais (duas vezes em
, duas vezes em
e a mista).
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Conceito e estratégia para começar: para obter as segundas derivadas parciais devemos primeiro calcular as primeiras derivadas parciais
e
.
Lembrete útil (regra da cadeia para logaritmo): se então
. Assim, para
temos
Lembrete útil (regra da cadeia para logaritmo): se
Aqui
. Agora aplicamos isso passo a passo.
Passo 3
Cálculo de
. Primeiro calcule
com
. Como
é tratado como constante ao derivar em relação a
,
Usando a regra da cadeia para
:
Expliquei cada passo: derivada do interior
, dividir pelo interior
.
Passo 4
Cálculo de
. Analogamente, ao derivar
em relação a
tratamos
como constante:
Portanto, pela regra da cadeia,
Passo 5
Agora vamos para
, ou seja, derivar
em relação a
. Aqui usamos a regra do quociente: se
então
No nosso caso, para derivar em
mantendo
constante, tome
e
. Então
e
. Aplicando a fórmula:
Cada linha é uma simplificação algébrica passo a passo: aplicação do quociente, soma dos termos no numerador e fatoração final.]
Passo 6
Cálculo de
. Derivamos
em relação a
. Novamente usamos a regra do quociente, agora com
e
. Temos
e
. Então:
Passo 7
Cálculo de
. Podemos derivar
em relação a
(mantendo
fixo). Use-se novamente a regra do quociente, mas agora
(constante em
, então
) e
com
. Aplicando a fórmula:
Se quiser, pode também derivar
em relação a
e verá o mesmo resultado (simetria
vale quando a função é suficientemente suave, como aqui).]