Para que valor(es) de k, se houver, o sistema terá (a) nenhuma solução, (b) uma única solução e (c) infinitas soluções?
40. k x+2 y=3
2 x-4 y=-6

Passo 1

O enunciado nos dá o seguinte sistema linear com parâmetro k\): \[\begin{cases} k\,x + 2\,y = 3,\\\\ 2\,x - 4\,y = -6.
O conteúdo aqui é classificação de soluções de um sistema (2\times2] em função do determinante da matriz de coeficientes e, no caso de determinante nulo, verificar consistência das equações.

Passo 2

Vamos calcular o determinante D da matriz de coeficientes
D = \det\begin{pmatrix} k & 2\\\\ 2 & -4 \end{pmatrix} = k\cdot(-4) - 2\cdot2 = -4k - 4 = -4\,(k+1).

Passo 3

Se D \neq 0, ou seja,
-4\,(k+1)\neq 0\quad\Longleftrightarrow\quad k+1\neq 0\quad\Longleftrightarrow\quad k\neq -1,
o sistema é compatível determinado e tem uma única solução.

Passo 4

Se D = 0, isto é, k = -1, as duas equações tornam-se proporcionais? Substituindo k=-1 na primeira equação obtemos
-1\cdot x + 2\,y = 3 \quad\Longrightarrow\quad -x+2y=3.
Multiplicando ambos os lados por -2
2x - 4y = -6,
que é exatamente a segunda equação. Logo, quando k=-1 as equações são dependentes e há infinitas soluções.

Resposta

(a) nenhuma solução para nenhum valor de k.
(b) única solução se k\neq -1.
(c) infinitas soluções se k=-1.

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