O valor de \mathbf{E} em P\left(\rho=2, \varphi=40^{\circ}, z=3\right) é dado como \mathbf{E}=100 \mathbf{a}_{\rho}-200 \mathbf{a}_{\varphi} +300 \mathbf{a}_{\mathbf{z}} \mathrm{V} / \mathrm{m}. Determine o trabalho incremental necessário para deslocar uma carga de 20 \mu \mathrm{C} por uma distância de 6 \mu \mathrm{~m} :
na direção de \mathbf{a}_{\rho};

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico no ponto P e pede o trabalho incremental para deslocar uma carga numa pequena distância na direção de \mathbf{a}_{\rho}. Dados relevantes:
\mathbf{E}(P)=100\,\mathbf{a}_{\rho}-200\,\mathbf{a}_{\varphi}+300\,\mathbf{a}_{z}\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}
q=20\\ \mu\mathrm{C}
\text{deslocamento: } \Delta \ell =6\\ \mu\mathrm{m}\\ \text{na direção de }\mathbf{a}_{\rho}çã
Obs.: o ponto P(\rho=2,\varphi=40^\circ,z=3) foi dado mas não é necessário para calcular o trabalho incremental, pois o \mathbf{E} no ponto já foi fornecido.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • A força sobre uma carga elétrica q em um campo elétrico \mathbf{E} é \mathbf{F}=q\,\mathbf{E}. Aqui \mathbf{F} tem unidade de newton (N).
  • O trabalho elemental (incremental) realizado pela força quando a carga se desloca por um vetor pequeno \mathrm{d}\mathbf{\ell} é dado pelo produto escalar:
\mathrm{d}W=\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{\ell}=q\,\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{\ell}.
  • O produto escalar \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{\ell} é simplesmente a soma dos produtos das componentes correspondentes. Se \mathrm{d}\mathbf{\ell} está inteiramente na direção de \mathbf{a}_{\rho}, só a componente \mathbf{a}_{\rho} de \mathbf{E} contribui.
  • Importante: \mathrm{d}W conforme escrito é o trabalho realizado pelo campo sobre a carga. Se a pergunta pedir o trabalho “necessário” realizado por um agente externo (isto é, o trabalho que o agente externo deve fornecer), esse trabalho é o oposto do trabalho realizado pelo campo: \mathrm{d}W_{\text{ext}}=-\mathrm{d}W_{\text{campo}}.

Passo 3

Escrever o vetor deslocamento pequeno e o produto escalar:
\mathrm{d}\mathbf{\ell}=\Delta \ell\,\mathbf{a}_{\rho}=6\\ \mu\mathrm{m}\,\mathbf{a}_{\rho}.
A componente de \mathbf{E} na direção de \mathbf{a}_{\rho} é E_{\rho}=100\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}. Portanto
\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{\ell}=E_{\rho}\,\Delta \ell=100\cdot(6\\ \mu\mathrm{m}).

Passo 4

Converter unidades para o SI e calcular \mathrm{d}W (trabalho feito pelo campo):
q=20\\ \mu\mathrm{C}=20\times10^{-6}\\ \mathrm{C}, \qquad \Delta \ell=6\\ \mu\mathrm{m}=6\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
\mathrm{d}W_{\text{campo}}=q\,E_{\rho}\,\Delta \ell = (20\times10^{-6})(100)(6\times10^{-6})\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Fazer a conta final passo a passo:
(20\times10^{-6})\cdot100\cdot(6\times10^{-6}) =20\cdot100\cdot6\times10^{-12} =12000\times10^{-12} =1,2\times10^{-8}\\ \mathrm{J}.
Em unidades mais familiares, 1,2\times10^{-8}\\ \mathrm{J}=12\\ \mathrm{nJ}.
  • Como \mathbf{E} e \mathrm{d}\mathbf{\ell} têm a mesma direção, \mathrm{d}W_{\text{campo}} é positivo.
  • Se quisermos o trabalho que deve ser fornecido pelo agente externo para mover a carga lentamente (contrariando ou mantendo a movimentação), ele será
\mathrm{d}W_{\text{ext}}=-\mathrm{d}W_{\text{campo}}=-1,2\times10^{-8}\\ \mathrm{J}.

Resposta

Trabalho realizado pelo campo: 1,2\times10^{-8}\\ \mathrm{J}
Trabalho que deve ser feito pelo agente externo: -1,2\times10^{-8}\\ \mathrm{J}

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