Determine o trabalho incremental necessário para deslocar uma carga de
por uma distância de
na direção
.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede algo específico. Vou listar com calma para você não se perder:
- Dados:
(carga a ser deslocada).
(módulo do deslocamento).
A direção do deslocamento é a direção do vetor
. - O que o enunciado pede:
Determinar o trabalho incremental necessário para deslocar essa carga por uma distância dena direção de .
Observação: o enunciado não dá unidades explícitas para
; vou entender (como é padrão neste tipo de problema) que
é um campo tal que a força sobre a carga é
(por exemplo,
pode ser um campo elétrico em
). Se
tiver outras unidades, a forma algébrica vale, mas o resultado numérico terá unidades compatíveis com
.
Passo 2
Conceito físico e fórmula que vamos usar (muito importante entender isso para a prova):
- Definição de trabalho elementar: o trabalho realizado por uma força
ao deslocar um objeto por um deslocamento infinitesimal é
Aqui o produto escalar captura somente a componente da força ao longo do deslocamento.
- Relação força-carga no campo
: para uma carga colocada em um campo que representa força por unidade de carga, a força sobre a carga é
Portanto, o trabalho finito ao deslocar a carga por um vetor deslocamento
é
Essas são as fórmulas principais que vamos aplicar. Nada de misterioso: primeiro transformamos a direção
em vetor unitário, depois multiplicamos pelo módulo do deslocamento e aplicamos o produto escalar.
Passo 3
Calcular o vetor unitário na direção de
e o módulo de
.
- O vetor dado é
- Módulo de
:
- Vetor unitário na direção de
:
Explicando rápido: o vetor unitário pega a direção de
e normaliza para módulo
, daí qualquer deslocamento de módulo
nessa direção é simplesmente
.
Passo 4
Expressar o deslocamento e escrever o trabalho em forma conveniente.
- O deslocamento vetorial de módulo
na direção de é
- O trabalho é
- Mas
, porque é exatamente a direção de . Portanto a expressão simplifica para
Essa simplificação é muito prática: trabalhar na direção do próprio vetor faz com que o produto escalar reduza ao módulo do vetor vezes o módulo do deslocamento.
Passo 5
Substituir os valores numéricos com as unidades corretas e calcular passo a passo.
- Converter unidades para o sistema SI:
- Já temos
(sem unidade explícita no enunciado; assumimos para que o resultado fique em J). - Calcule
:
- Agora o trabalho:
- Aproximando
, obtemos
Entre parênteses: mantenha sempre atenção às ordens de grandeza na prova — multiplicar micro vezes micro dá pico (10^{-12}), daí os números acima.
Passo 6
Interpretação e checagens rápidas (para você se sentir confiante na prova):
- O sinal positivo do trabalho indica que a força sobre a carga e o deslocamento têm componente na mesma direção (isto é, estamos “ajudando” a força, não fazendo trabalho contra ela).
- Se o enunciado não interpretasse
como força por unidade de carga, a fórmula algébrica ainda vale, mas as unidades finais dependeriam da unidade de . Por isso é importante checar as unidades no enunciado da prova. - Método resumido que você pode lembrar para a prova: calcular o vetor unitário da direção, formar
, usar e simplificar se a direção for a própria de .