Determine o trabalho incremental necessário para deslocar uma carga de 20 \mu \mathrm{C} por uma distância de 6 \mu \mathrm{~m} na direção \operatorname{de} \mathbf{G}=2 \mathbf{a}_{x}-3 \mathbf{a}_{y}+4 \mathbf{a}_{z}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede algo específico. Vou listar com calma para você não se perder:
  • Dados:
    \displaystyle q=20\,\mu\mathrm{C} (carga a ser deslocada).
    \displaystyle s=6\,\mu\mathrm{m} (módulo do deslocamento).
    A direção do deslocamento é a direção do vetor
    \displaystyle \mathbf{G}=2\,\mathbf{a}_x-3\,\mathbf{a}_y+4\,\mathbf{a}_z.
  • O que o enunciado pede:
    Determinar o trabalho incremental necessário para deslocar essa carga por uma distância de 6\,\mu\mathrm{m} na direção de \mathbf{G}.
Observação: o enunciado não dá unidades explícitas para \mathbf{G}; vou entender (como é padrão neste tipo de problema) que \mathbf{G} é um campo tal que a força sobre a carga é \mathbf{F}=q\,\mathbf{G} (por exemplo, \mathbf{G} pode ser um campo elétrico em \mathrm{N/C}). Se \mathbf{G} tiver outras unidades, a forma algébrica vale, mas o resultado numérico terá unidades compatíveis com \mathbf{G}.

Passo 2

Conceito físico e fórmula que vamos usar (muito importante entender isso para a prova):
  • Definição de trabalho elementar: o trabalho realizado por uma força \mathbf{F} ao deslocar um objeto por um deslocamento infinitesimal \mathrm{d}\mathbf{r} é
\mathrm{d}W=\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}.
Aqui o produto escalar captura somente a componente da força ao longo do deslocamento.
  • Relação força-carga no campo \mathbf{G}: para uma carga q colocada em um campo \mathbf{G} que representa força por unidade de carga, a força sobre a carga é
\mathbf{F}=q\,\mathbf{G}.
Portanto, o trabalho finito ao deslocar a carga por um vetor deslocamento \Delta\mathbf{r} é
W=\mathbf{F}\cdot\Delta\mathbf{r}=q\,\mathbf{G}\cdot\Delta\mathbf{r}.
Essas são as fórmulas principais que vamos aplicar. Nada de misterioso: primeiro transformamos a direção \mathbf{G} em vetor unitário, depois multiplicamos pelo módulo do deslocamento e aplicamos o produto escalar.

Passo 3

Calcular o vetor unitário na direção de \mathbf{G} e o módulo de \mathbf{G}.
  • O vetor dado é
\mathbf{G}=2\,\mathbf{a}_x-3\,\mathbf{a}_y+4\,\mathbf{a}_z.
  • Módulo de \mathbf{G}:
\lVert\mathbf{G}\rVert=\sqrt{2^2+(-3)^2+4^2}=\sqrt{4+9+16}=\sqrt{29}.
  • Vetor unitário na direção de \mathbf{G}:
\mathbf{\hat{u}}_G=\frac{\mathbf{G}}{\lVert\mathbf{G}\rVert=\sqrt{29}}.
Explicando rápido: o vetor unitário pega a direção de \mathbf{G} e normaliza para módulo 1, daí qualquer deslocamento de módulo s nessa direção é simplesmente s\,\mathbf{\hat{u}}_G.

Passo 4

Expressar o deslocamento e escrever o trabalho em forma conveniente.
  • O deslocamento vetorial de módulo s na direção de \mathbf{G} é
\Delta\mathbf{r}=s\,\mathbf{\hat{u}}_G.
  • O trabalho é
W=q\,\mathbf{G}\cdot\Delta\mathbf{r}=q\,\mathbf{G}\cdot\bigl(s\,\mathbf{\hat{u}}_G\bigr)=q\,s\;(\mathbf{G}\cdot\mathbf{\hat{u}}_G).
  • Mas \mathbf{G}\cdot\mathbf{\hat{u}}_G=\lVert\mathbf{G}\rVert, porque \mathbf{\hat{u}}_G é exatamente a direção de \mathbf{G}. Portanto a expressão simplifica para
W=q\,s\,\lVert\mathbf{G}\rVert.
Essa simplificação é muito prática: trabalhar na direção do próprio vetor faz com que o produto escalar reduza ao módulo do vetor vezes o módulo do deslocamento.

Passo 5

Substituir os valores numéricos com as unidades corretas e calcular passo a passo.
  • Converter unidades para o sistema SI: q=20\,\mu\mathrm{C}=20\times10^{-6}\,\mathrm{C}, \qquad s=6\,\mu\mathrm{m}=6\times10^{-6}\,\mathrm{m}.
  • Já temos \lVert\mathbf{G}\rVert=\sqrt{29} (sem unidade explícita no enunciado; assumimos \mathrm{N/C} para que o resultado fique em J).
  • Calcule q\cdot s:
q\cdot s=(20\times10^{-6})\,(6\times10^{-6})=120\times10^{-12}=1{,}2\times10^{-10}.
  • Agora o trabalho:
W=q\,s\,\lVert\mathbf{G}\rVert = \bigl(1{,}2\times10^{-10}\bigr)\,\sqrt{29}.
  • Aproximando \sqrt{29}\approx5{,}3851648, obtemos
W\approx1{,}2\times10^{-10}\times5{,}3851648 \approx 6{,}46\times10^{-10}\,\mathrm{J}.
Entre parênteses: mantenha sempre atenção às ordens de grandeza na prova — multiplicar micro vezes micro dá pico (10^{-12}), daí os números acima.

Passo 6

Interpretação e checagens rápidas (para você se sentir confiante na prova):
  • O sinal positivo do trabalho indica que a força sobre a carga e o deslocamento têm componente na mesma direção (isto é, estamos “ajudando” a força, não fazendo trabalho contra ela).
  • Se o enunciado não interpretasse \mathbf{G} como força por unidade de carga, a fórmula algébrica W=q\,\mathbf{G}\cdot\Delta\mathbf{r} ainda vale, mas as unidades finais dependeriam da unidade de \mathbf{G}. Por isso é importante checar as unidades no enunciado da prova.
  • Método resumido que você pode lembrar para a prova: calcular o vetor unitário da direção, formar \Delta\mathbf{r}=s\mathbf{\hat{u}}, usar W=q\,\mathbf{G}\cdot\Delta\mathbf{r} e simplificar se a direção for a própria de \mathbf{G}.

Resposta

6{,}46\times10^{-10}\,\mathrm{J}

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