Qual é o valor máximo para a função real dada por f(x)=21 \operatorname{sen} x . \cos x+3,5 ?
(A) 17,5
(B) 17
(C) 16,5
(D) 15
(E) 14

Passo 1

O enunciado nos dá a função real
f(x)=21\,\operatorname{sen}x\cdot\cos x+3,5
e pergunta qual é o valor máximo dessa função. Informações relevantes:
  • A função é expressa em termos de \operatorname{sen}x e \cos x.
  • Os coeficientes constantes são 21 e 3,5.
    O que precisa ser encontrado: o valor máximo de f(x) (número real).

Passo 2

Vamos usar uma identidade trigonométrica muito útil (fácil de lembrar): a fórmula do ângulo duplo para seno.
A partir da soma de ângulos vale
\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b.
Tomando a=b=x obtemos
\sin(2x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos x.
Portanto isolamos o produto:
\sin x\cos x=\tfrac{1}{2}\sin(2x).

Passo 3

Substituindo \sin x\cos x=\tfrac{1}{2}\sin(2x) na função dada:
f(x)=21\cdot\left(\tfrac{1}{2}\sin(2x)\right)+3,5.
Fazendo a multiplicação dos coeficientes:
f(x)=10,5\,\sin(2x)+3,5.

Passo 4

Agora uma observação sobre a função seno: para qualquer argumento real t vale
-1\le \sin t\le 1.
Assim o termo 10,5\,\sin(2x) varia entre -10,5 e 10,5. Em geral, para uma função do tipo g(t)=A\sin t+B com A>0, o máximo de g é A+B, que ocorre quando \sin t=1. Aqui A=10,5 e B=3,5.

Passo 5

Aplicando o raciocínio do passo anterior, o máximo de f é
\max f=10,5\cdot 1 + 3,5 = 14.
(Observação: esse máximo é atingido quando \sin(2x)=1, por exemplo em 2x=\tfrac{\pi}{2}+2k\pi, ou seja x=\tfrac{\pi}{4}+k\pi, k\in\mathbb{Z}.)

Resposta

14

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