Calcule a transformada inversa de Laplace
\mathcal{L}^{-1}\left\{\arctan \left(\frac{5}{s+2}\right)\right\}
justificando todas as propriedades da tabela de Transformadas de Laplace usadas.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pede calcular a transformada inversa de Laplace de
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\arctan\!\left(\frac{5}{s+2}\right)\right\}.
  • Variáveis e nomes: s é a variável do domínio de Laplace; t será a variável no domínio temporal (a função que queremos encontrar); o número 5 e o deslocamento +2 são parâmetros dados.
  • Pergunta explícita: encontrar f(t) tal que
\mathcal{L}\{f(t)\}=\arctan\!\left(\frac{5}{s+2}\right).

Passo 2

Estratégia geral (sem resolver ainda): reconhecer a expressão como uma função F(s+2) para alguma F(s) cuja inversa conhecemos. Para isso preciso de duas propriedades da transformada de Laplace (tabela) que vou justificar e usar:
  1. Uma transformada conhecida: a transformada de Laplace da função \dfrac{\sin(a t)}{t} (para a>0) é
\mathcal{L}\!\left\{\frac{\sin(a t)}{t}\right\}(s)=\arctan\!\left(\frac{a}{s}\right), \qquad \text{para } \Re(s)>0.
  1. A propriedade de deslocamento na variável s (frequentemente chamada de deslocamento horizontal): se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s) então
\mathcal{L}\{e^{-a t} f(t)\}(s)=F(s+a)
e, em consequência,
\mathcal{L}^{-1}\{F(s+a)\}=e^{-a t} f(t).
Nosso objetivo será identificar a=2 e F(s)=\arctan\!\left(\dfrac{5}{s}\right).

Passo 3

Justificando a fórmula \mathcal{L}\{\sin(a t)/t\}=\arctan(a/s). Vou provar essa igualdade de maneira elementar (útil na prova/na prova oral):
Defina, para a\ge 0 fixo e para \Re(s)>0,
g(a)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,\frac{\sin(a t)}{t}\,dt.
Queremos mostrar que g(a)=\arctan\!\left(\dfrac{a}{s}\right).
Calcule a derivada de g em relação a a. Como o integrando é contínuo e decai com t (para \Re(s)>0) pode-se trocar derivação e integração (teorema da diferenciação sob o integral); assim
g'(a)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,\frac{\partial}{\partial a}\!\left(\frac{\sin(a t)}{t}\right)\,dt =\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cos(a t)\,dt.
A integral à direita é a transformada de Laplace de \cos(a t), conhecida e fácil de calcular:
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cos(a t)\,dt=\frac{s}{s^{2}+a^{2}},\qquad \Re(s)>0.
Portanto
g'(a)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.
Integramos essa expressão em a de 0 até a:
g(a)-g(0)=\int_{0}^{a}\frac{s}{s^{2}+x^{2}}\,dx.
O lado direito é uma primitiva direta:
\int_{0}^{a}\frac{s}{s^{2}+x^{2}}\,dx=\left[\arctan\!\left(\frac{x}{s}\right)\right]_{x=0}^{x=a}=\arctan\!\left(\frac{a}{s}\right)-\arctan(0).
Como g(0)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cdot 0\,dt=0 e \arctan(0)=0, segue
g(a)=\arctan\!\left(\frac{a}{s}\right).
Isto prova que, para \Re(s)>0,
\mathcal{L}\!\left\{\frac{\sin(a t)}{t}\right\}(s)=\arctan\!\left(\frac{a}{s}\right).
Observação: a condição \Re(s)>0 garante convergência da integral no infinito e permite trocar derivação e integração.

Passo 4

Justificando a propriedade de deslocamento em s (tabela): para qualquer função f(t) cuja transformada exista, por definição
\mathcal{L}\{e^{-a t} f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} e^{-a t} f(t)\,dt =\int_{0}^{\infty} e^{-(s+a)t} f(t)\,dt=F(s+a),
onde F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s). Assim a propriedade é direta da definição da transformada. O inverso é também imediato: se G(s)=F(s+a) então \mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}=e^{-a t} f(t).

Passo 5

Aplicando as propriedades ao problema. Identifico
\arctan\!\left(\frac{5}{s+2}\right)=F(s+2), \qquad\text{com}\qquad F(s)=\arctan\!\left(\frac{5}{s}\right).
Pelo Passo 3, F(s) é a transformada de
f(t)=\frac{\sin(5 t)}{t}.
Pelo Passo 4 (propriedade de deslocamento em s), a inversa de F(s+2) é
e^{-2 t} f(t)=e^{-2 t}\,\frac{\sin(5 t)}{t}.

Passo 6

Verificação rápida de consistência (controle): aplicar a transformada de Laplace ao resultado obtido deve retornar a função original. De fato,
\mathcal{L}\!\left\{e^{-2 t}\frac{\sin(5 t)}{t}\right\}(s) =F(s+2)=\arctan\!\left(\frac{5}{s+2}\right),
coerente com os passos anteriores.

Passo 7

Observações sobre região de convergência: a fórmula \mathcal{L}\{\sin(5t)/t\}(s)=\arctan(5/s) foi estabelecida para \Re(s)>0. Pela propriedade de deslocamento, a expressão \arctan(5/(s+2)) corresponde ao caso \Re(s+2)>0, ou seja \Re(s)>-2. Portanto a função temporal encontrada é causal e válida para t\ge 0 com região de convergência \Re(s)>-2.

Resposta

f(t)=e^{-2 t}\dfrac{\sin(5 t)}{t},\quad t>0

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