Calcule a transformada inversa de Laplace
justificando todas as propriedades da tabela de Transformadas de Laplace usadas.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Pede calcular a transformada inversa de Laplace de
- Variáveis e nomes:
é a variável do domínio de Laplace; será a variável no domínio temporal (a função que queremos encontrar); o número e o deslocamento são parâmetros dados. - Pergunta explícita: encontrar
tal que
Passo 2
Estratégia geral (sem resolver ainda): reconhecer a expressão como uma função
para alguma
cuja inversa conhecemos. Para isso preciso de duas propriedades da transformada de Laplace (tabela) que vou justificar e usar:
- Uma transformada conhecida: a transformada de Laplace da função
(para ) é
- A propriedade de deslocamento na variável
(frequentemente chamada de deslocamento horizontal): se então
e, em consequência,
Nosso objetivo será identificar
e
.
Passo 3
Justificando a fórmula
. Vou provar essa igualdade de maneira elementar (útil na prova/na prova oral):
Defina, para
fixo e para
,
Queremos mostrar que
.
Calcule a derivada de
em relação a
. Como o integrando é contínuo e decai com
(para
) pode-se trocar derivação e integração (teorema da diferenciação sob o integral); assim
A integral à direita é a transformada de Laplace de
, conhecida e fácil de calcular:
Portanto
Integramos essa expressão em
de
até
:
O lado direito é uma primitiva direta:
Como
e
, segue
Isto prova que, para
,
Observação: a condição
garante convergência da integral no infinito e permite trocar derivação e integração.
Passo 4
Justificando a propriedade de deslocamento em
(tabela): para qualquer função
cuja transformada exista, por definição
onde
. Assim a propriedade é direta da definição da transformada. O inverso é também imediato: se
então
.
Passo 5
Aplicando as propriedades ao problema. Identifico
Pelo Passo 3,
é a transformada de
Pelo Passo 4 (propriedade de deslocamento em
), a inversa de
é
Passo 6
Verificação rápida de consistência (controle): aplicar a transformada de Laplace ao resultado obtido deve retornar a função original. De fato,
coerente com os passos anteriores.
Passo 7
Observações sobre região de convergência: a fórmula
foi estabelecida para
. Pela propriedade de deslocamento, a expressão
corresponde ao caso
, ou seja
. Portanto a função temporal encontrada é causal e válida para
com região de convergência
.