Qual o valor do módulo, da direção e do sentido da força sentida por uma carga q que se encontra no centro da circunferência de raio R, cuja distribuição linear de carga \lambda é uniforme. R: \overrightarrow{\boldsymbol{F}}_{\boldsymbol{R}}=\mathbf{0}.

Passo 1

O enunciado pede a força elétrica que uma carga q sofre ao estar no centro de um anel de raio R com densidade linear de carga uniforme \lambda. O conteúdo que vamos usar é a lei de Coulomb para distribuições contínuas e, em especial, o argumento de simetria: em um anel carregado, cada pedacinho de carga tem um pedacinho diametralmente oposto que gera força de mesmo módulo, mas em sentidos contrários.

Passo 2

Escolhemos um elemento de carga
\mathrm{d}Q = \lambda\,\mathrm{d}\ell
em um ponto do anel que faz ângulo \varphi com o eixo x. A contribuição infinitesimal de força que esse elemento exerce sobre q é
\mathrm{d}\mathbf{F} = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\;\frac{q\,\mathrm{d}Q}{R^{2}}\;\hat{\mathbf{r}}(\varphi),
onde \hat{\mathbf{r}}(\varphi) é o versor que aponta do elemento até o centro.

Passo 3

Como o raio é fixo, \mathrm{d}\ell = R\,\mathrm{d}\varphi e
\hat{\mathbf{r}}(\varphi) = \cos\varphi\,\hat{\mathbf{i}} + \sin\varphi\,\hat{\mathbf{j}}.
Substituindo,
\mathrm{d}\mathbf{F} = \frac{q\lambda}{4\pi\epsilon_{0}R}\,\mathrm{d}\varphi \bigl(\cos\varphi\,\hat{\mathbf{i}} + \sin\varphi\,\hat{\mathbf{j}}\bigr).
Para obter a força total, integra-se \varphi de 0 a 2\pi. Mas
\int_{0}^{2\pi}\cos\varphi\,\mathrm{d}\varphi = 0 \quad\text{e}\quad \int_{0}^{2\pi}\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi = 0,
logo as componentes x e y se anulam.

Passo 4

Como ambas as componentes horizontais e verticais somam zero, o vetor força resultante é
\mathbf{F} = \mathbf{0}.

Resposta

O módulo da força é 0. Como \mathbf{F}=\mathbf{0}, não há direção nem sentido definidos.

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