Um capacitor de placas paralelas contém um material dielétrico em seu interior, até a metade de seu comprimento. Seja \kappa a constante dielétrica do material e assumindo que a região sem material seja preenchida por ar, determine a capacitância desse capacitor em função de L. (Assuma que as placas são quadradas, de comprimento L, e que a distância entre elas seja s ).

Passo 1

O enunciado descreve um capacitor de placas paralelas quadradas de lado L e afastamento s, preenchido por um dielétrico de constante \kappa em metade da área das placas, e ar na outra metade. O conteúdo envolvido é associação de capacitores em paralelo, pois as duas regiões (com e sem dielétrico) estão lado a lado, sujeitas à mesma diferença de potencial.

Passo 2

Vamos dividir o capacitor em dois capacitores ideais em paralelo:
– Região 1 (dielétrico): área A_1 = \tfrac12L^2, espessura s, constante \kappa.
– Região 2 (ar): área A_2 = \tfrac12L^2, espessura s, constante 1.

Passo 3

A capacitância de cada região é dada por
C_1 = \kappa\,\varepsilon_0\,\frac{A_1}{s} \quad\text{e}\quad C_2 = \varepsilon_0\,\frac{A_2}{s}.
Substituindo A_1=A_2=\tfrac12L^2, obtemos
C_1 = \kappa\,\varepsilon_0\,\frac{\tfrac12L^2}{s} =\frac{\kappa\,\varepsilon_0\,L^2}{2s},
C_2 = \varepsilon_0\,\frac{\tfrac12L^2}{s} =\frac{\varepsilon_0\,L^2}{2s}.

Passo 4

Como as duas regiões estão em paralelo, a capacitância total é
C = C_1 + C_2 =\frac{\kappa\,\varepsilon_0\,L^2}{2s} + \frac{\varepsilon_0\,L^2}{2s} =\frac{\varepsilon_0\,L^2}{2s}\bigl(\kappa+1\bigr).

Resposta

C = \frac{\varepsilon_0\,L^2}{2s}\,\bigl(1 + \kappa\bigr).

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