(Valor 1,5) Mostre que o limite existe ou não existe considerando os limites quando
((x, y) ->(0,0)) ao longo dos eixos coordenados e da parábola (y=2 x^{2}).
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{e{\frac{-1}{\sqrt{x{2}+y{2}}}}}}{x{2}+y^{2}}
((x, y) ->(0,0)) ao longo dos eixos coordenados e da parábola (y=2 x^{2}).
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{e{\frac{-1}{\sqrt{x{2}+y{2}}}}}}{x{2}+y^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para analisar o limite
As tarefas específicas que devo fazer são:
- Calcular o limite quando
ao longo dos eixos coordenados (ou seja, ao longo de e de ). - Calcular o limite quando
ao longo da parábola . - A partir dessas verificações (e, se necessário, com um argumento mais geral) concluir se o limite total existe ou não.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é definida para
pela fórmula acima (o ponto está isolado porque aparece no denominador do expoente). - Em todas as abordagens para
temos . - Quero saber se o valor do limite depende do caminho ou é o mesmo para todos os caminhos.
Passo 2
Limite ao longo do eixo
(ou seja
,
).
Substituindo
na função obtemos
Para estudar esse limite é conveniente fazer a troca de variável
. Quando
temos
. Reescrevendo a expressão em
obtemos
Agora avaliamos
Usando a regra de L’Hospital (escrever
e aplicar L’Hospital duas vezes), temos
Logo o limite ao longo do eixo
é
.
Passo 3
Limite ao longo do eixo
(ou seja
,
).
Pelo mesmo raciocínio do passo anterior, substituindo
obtemos
Fazendo
chegamos novamente a
com
, cujo limite é
(mesma aplicação de L’Hospital). Logo o limite ao longo do eixo
é
.
Passo 4
Limite ao longo da parábola
(com
).
Substituindo
na expressão temos
Fatorando
no denominador e dentro da raiz:
Portanto a expressão é
Defina agora
Quando
temos
, portanto
. Reescrevendo a expressão em
(observando que
— o essencial é que a parte que depende de
dá origem a um fator do tipo
multiplicando
) chega-se ao mesmo tipo de termo dominante:
de forma direta e mais simples podemos observar que
de forma direta e mais simples podemos observar que
para algum
próximo de
quando
está suficientemente próximo de
, e como
temos
. Assim o limite ao longo da parábola também é
.
(Se quiser uma verificação mais direta: aproximando para
pequeno,
, então a expressão é assintoticamente equivalente a
com
, e esse termo tende a
como já vimos.)
Passo 5
Argumento geral e conclusão de existência do limite (não dependente de caminho).
Para qualquer caminho que leve
ao ponto
é natural usar coordenadas polares. Defina
A função pode ser escrita em termos de
como
Agora faça a troca
. Quando
temos
e a expressão vira
Como já demonstrado no passo 2, usando L’Hospital duas vezes,
Portanto, para qualquer modo de aproximação de
a
(isto é, para qualquer caminho), o valor da função tende a
. Isso prova que o limite total existe e vale
.
Passo 6
Comentário didático rápido (por que o expoente “vence” o polinômio).
Intuitivamente: exponenciais do tipo
crescem muito mais rápido que qualquer potência
. Assim
tende a zero porque o denominador
cresce muito mais rápido que o numerador polinomial
. A forma rigorosa que usei foi L’Hospital duas vezes, que é uma ferramenta padrão para comparar taxas de crescimento.
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