(Valor: 2,0 pontos) Um tubo cilíndrico cujos diâmetros interno e externo são iguais a, respectivamente, 50 mm e 100 mm , tem a temperatura da sua face externa igual a 40^{\circ} \mathrm{C}. Sabe-se que, sob convecção forçada, sobre ele escoa perpendicularmente ar com velocidade de corrente livre de 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s} a 20^{\circ} \mathrm{C}, e que a condutibilidade térmica do material de que é feito o tubo é igual a 0,05 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}. Desprezando os efeitos de transferência de calor por radiação calcule (a) o coeficiente convectivo médio entre a superfície externa do tubo e o meio ambiente e (b) a taxa de calor na sua superfície externa, por metro de tubo.
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas coisas.
Dados:
diâmetro interno do tubo: \\\ 50\\ \mathrm{mm};
diâmetro externo do tubo: \\\ 100\\ \mathrm{mm};
temperatura da face externa do tubo: \\\ 40^\circ\mathrm{C};
ar escoa perpendicularmente ao tubo com velocidade de corrente livre: \\\ 4\\ \mathrm{m/s};
temperatura do ar (meio ambiente): \\\ 20^\circ\mathrm{C};
condutividade térmica do material do tubo: \\\ 0{,}05\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} (fornecida, mas observo que a superfície externa já tem a temperatura informada);
desprezar transferência por radiação.
Perguntas:
(a) Calcular o coeficiente convectivo médio entre a superfície externa do tubo e o meio ambiente (ou seja, h médio na superfície externa).
(b) Calcular a taxa de calor na sua superfície externa, por metro de tubo (ou seja, a potência perdida por unidade de comprimento, \dot{Q}', em W/m).
Passo 2
Qual é a estratégia para achar h?
Quando o fluxo de fluido incide perpendicularmente a um cilindro isolado, a maneira padrão na prova é usar uma correlação empírica para o número de Nusselt médio sobre o cilindro em escoamento externo (convecção forçada). A correlação que vou usar é a de Churchill–Bernstein, muito usada porque cobre uma ampla faixa de Reynolds e Prandtl e é apropriada para um cilindro isolado em escoamento cruzado. Não foi pedido outro método no enunciado, então essa correlação é adequada.
Vou proceder assim:
determinar uma temperatura de filme para avaliar propriedades do ar;
obter propriedades do ar nessa temperatura (condutividade, viscosidade cinemática, Prandtl);
calcular o número de Reynolds baseado no diâmetro externo;
aplicar a correlação de Nusselt de Churchill–Bernstein para obter \overline{Nu}_D;
calcular h a partir de \overline{Nu}_D;
calcular a taxa de calor por metro usando \dot{Q}' = h \, (\text{área por metro}) \, (T_s - T_\infty)á.
Passo 3
Temperatura de filme e propriedades do ar (explicando o porquê):
A temperatura de filme é a média entre a temperatura da superfície externa e a do escoamento livre; nela avaliamos propriedades do fluido porque as propriedades variam com a temperatura.
Explicação curta sobre cada uma: k_{\text{ar}} é a condutividade térmica do ar; Pr é o número de Prandtl (relação entre difusão de momento e difusão térmica); \nu é a viscosidade cinemática do ar, usada para calcular Reynolds. Esses valores são típicos a 30^\circ\mathrm{C}.
Passo 4
Calcular o número de Reynolds baseado no diâmetro externo (D):
Converter o diâmetro externo para metros: \\ D=100\\ \mathrm{mm}=0{,}100\\ \mathrm{m}.
A expressão do número de Reynolds é
Re_D = \frac{U_\infty D}{\nu},
onde U_\infty é a velocidade livre e \nu a viscosidade cinemática.
Observação pedagógica: a condutividade do material do tubo (0{,}05\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}) foi fornecida, mas como a temperatura da face externa já é dada (40^\circ\mathrm{C}), não precisamos calcular a queda de temperatura através da espessura do tubo para encontrar o fluxo externo — o fluxo externo é determinado por h e a diferença entre a superfície externa e o ar. Se, em outro problema, a temperatura interna ou o fluxo interno fossem dados, aí sim a condutividade e a espessura seriam usadas para obter a temperatura externa antes de usar a convecção.
Resposta
h \approx 23{,}8\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)} \dot{Q}' \approx 150\\ \mathrm{W/m}