(Valor: 2,0 pontos) Um tubo cilíndrico cujos diâmetros interno e externo são iguais a, respectivamente, 50 mm e 100 mm , tem a temperatura da sua face externa igual a 40^{\circ} \mathrm{C}. Sabe-se que, sob convecção forçada, sobre ele escoa perpendicularmente ar com velocidade de corrente livre de 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s} a 20^{\circ} \mathrm{C}, e que a condutibilidade térmica do material de que é feito o tubo é igual a 0,05 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}. Desprezando os efeitos de transferência de calor por radiação calcule (a) o coeficiente convectivo médio entre a superfície externa do tubo e o meio ambiente e (b) a taxa de calor na sua superfície externa, por metro de tubo.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas coisas.
Dados:
  • diâmetro interno do tubo: \\\ 50\\ \mathrm{mm};
  • diâmetro externo do tubo: \\\ 100\\ \mathrm{mm};
  • temperatura da face externa do tubo: \\\ 40^\circ\mathrm{C};
  • ar escoa perpendicularmente ao tubo com velocidade de corrente livre: \\\ 4\\ \mathrm{m/s};
  • temperatura do ar (meio ambiente): \\\ 20^\circ\mathrm{C};
  • condutividade térmica do material do tubo: \\\ 0{,}05\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} (fornecida, mas observo que a superfície externa já tem a temperatura informada);
  • desprezar transferência por radiação.
Perguntas:
(a) Calcular o coeficiente convectivo médio entre a superfície externa do tubo e o meio ambiente (ou seja, h médio na superfície externa).
(b) Calcular a taxa de calor na sua superfície externa, por metro de tubo (ou seja, a potência perdida por unidade de comprimento, \dot{Q}', em W/m).

Passo 2

Qual é a estratégia para achar h?
Quando o fluxo de fluido incide perpendicularmente a um cilindro isolado, a maneira padrão na prova é usar uma correlação empírica para o número de Nusselt médio sobre o cilindro em escoamento externo (convecção forçada). A correlação que vou usar é a de Churchill–Bernstein, muito usada porque cobre uma ampla faixa de Reynolds e Prandtl e é apropriada para um cilindro isolado em escoamento cruzado. Não foi pedido outro método no enunciado, então essa correlação é adequada.
Vou proceder assim:
  1. determinar uma temperatura de filme para avaliar propriedades do ar;
  2. obter propriedades do ar nessa temperatura (condutividade, viscosidade cinemática, Prandtl);
  3. calcular o número de Reynolds baseado no diâmetro externo;
  4. aplicar a correlação de Nusselt de Churchill–Bernstein para obter \overline{Nu}_D;
  5. calcular h a partir de \overline{Nu}_D;
  6. calcular a taxa de calor por metro usando \dot{Q}' = h \, (\text{área por metro}) \, (T_s - T_\infty)á.

Passo 3

Temperatura de filme e propriedades do ar (explicando o porquê):
A temperatura de filme é a média entre a temperatura da superfície externa e a do escoamento livre; nela avaliamos propriedades do fluido porque as propriedades variam com a temperatura.
T_f=\frac{T_s+T_\infty}{2}=\frac{40^\circ\mathrm{C}+20^\circ\mathrm{C}}{2}=30^\circ\mathrm{C}.
Escolho propriedades típicas do ar a \\\ 30^\circ\mathrm{C} (valores tabulados). Vou usar:
k_{\text{ar}} = 0{,}0263\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\qquad Pr = 0{,}71,\qquad \nu = 1{,}60\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.
Explicação curta sobre cada uma: k_{\text{ar}} é a condutividade térmica do ar; Pr é o número de Prandtl (relação entre difusão de momento e difusão térmica); \nu é a viscosidade cinemática do ar, usada para calcular Reynolds. Esses valores são típicos a 30^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Calcular o número de Reynolds baseado no diâmetro externo ( D):
Converter o diâmetro externo para metros: \\ D=100\\ \mathrm{mm}=0{,}100\\ \mathrm{m}.
A expressão do número de Reynolds é
Re_D = \frac{U_\infty D}{\nu},
onde U_\infty é a velocidade livre e \nu a viscosidade cinemática.
Substituindo:
Re_D=\frac{4\\ \mathrm{m/s}\times 0{,}100\\ \mathrm{m}}{1{,}60\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}} = \frac{0{,}400}{1{,}60\times10^{-5}} = 2{,}5\times 10^{4}.
Comentário: \\ Re_D\approx 2{,}5\times10^{4} indica escoamento em faixa onde a correlação de Churchill–Bernstein é válida.

Passo 5

Aplicar a correlação de Churchill–Bernstein para cilindro isolado:
A correlação é
\overline{Nu}_D = 0{,}3 + \frac{0{,}62\, Re_D^{1/2}\, Pr^{1/3}}{\left[1+\left(\dfrac{0{,}4}{Pr}\right)^{2/3}\right]^{1/4}} \left[1+\left(\dfrac{Re_D}{2{,}82\times10^{5}}\right)^{5/8}\right]^{4/5}.
Aqui \overline{Nu}_D é o número de Nusselt médio baseado no diâmetro D. Vou avaliar termo a termo.
Calculemos alguns auxiliares:
Re_D^{1/2}=(2{,}5\times10^{4})^{1/2}\approx 158{,}114,
Pr^{1/3}= (0{,}71)^{1/3}\approx 0{,}894,
portanto
Re_D^{1/2}\,Pr^{1/3}\approx 158{,}114\times 0{,}894\approx 141{,}4.
Agora o denominador do primeiro quociente:
\left[1+\left(\frac{0{,}4}{Pr}\right)^{2/3}\right]^{1/4}= \left[1+\left(\frac{0{,}4}{0{,}71}\right)^{2/3}\right]^{1/4}.
Calcule \dfrac{0{,}4}{0{,}71}\approx 0{,}5634. Então
\left(0{,}5634\right)^{2/3}\approx 0{,}682\quad\Rightarrow\quad \left[1+0{,}682\right]^{1/4}=1{,}682^{1/4}\approx 1{,}140.
Assim o quociente fica
\frac{0{,}62\times 141{,}4}{1{,}140}\approx \frac{87{,}67}{1{,}140}\approx 76{,}95.
Agora o segundo fator do produto:
\left[1+\left(\frac{Re_D}{2{,}82\times10^{5}}\right)^{5/8}\right]^{4/5}.
Calcule \dfrac{Re_D}{2{,}82\times10^{5}}=\dfrac{2{,}5\times10^{4}}{2{,}82\times10^{5}}\approx 0{,}08865.
Então
(0{,}08865)^{5/8}\approx 0{,}2197,\quad 1+0{,}2197=1{,}2197,\quad (1{,}2197)^{4/5}\approx 1{,}1716.
Multiplicando os fatores:
0{,}62\text{-termo} \approx 76{,}95\times 1{,}1716 \approx 90{,}13.
Somando o 0{,}3 inicial:
\overline{Nu}_D \approx 0{,}3 + 90{,}13 \approx 90{,}43.
Portanto
\overline{Nu}_D \approx 90{,}4.

Passo 6

Calcular o coeficiente convectivo médio h a partir de \overline{Nu}_D:
A definição do número de Nusselt médio é
\overline{Nu}_D = \frac{h\, D}{k_{\text{ar}}},
onde h é o coeficiente de convecção médio, D é o diâmetro externo e k_{\text{ar}} a condutividade térmica do ar.
Isolando h:
h = \frac{\overline{Nu}_D\, k_{\text{ar}}}{D}.
Substituindo valores: \\ \overline{Nu}_D=90{,}43,\\ k_{\text{ar}}=0{,}0263\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\\ D=0{,}100\\ \mathrm{m}.
h = \frac{90{,}43\times 0{,}0263}{0{,}100} = 90{,}43\times 0{,}263 \approx 23{,}78\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
Arredondando de modo razoável para a prova:
h \approx 23{,}8\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.

Passo 7

Calcular a taxa de calor na superfície externa por metro de tubo ( \dot{Q}'):
A potência por unidade de comprimento para um cilindro é
\dot{Q}' = h \, A' \, (T_s - T_\infty),
onde A' é a área externa por unidade de comprimento (ou seja, a circunferência vezes 1\\ \mathrm{m}):
A' = \pi D.
Substituindo:
\dot{Q}' = h\, \pi D \, (T_s - T_\infty).
Com \\ h=23{,}78\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)},\\ D=0{,}100\\ \mathrm{m},\\ T_s-T_\infty=40^\circ\mathrm{C}-20^\circ\mathrm{C}=20\\ \mathrm{K},
\dot{Q}' = 23{,}78\times \pi \times 0{,}100\times 20.
Calcule passo a passo: \pi\times 0{,}100=0{,}314159, multiplicando por 20 6{,}28318. Multiplicando por 23{,}78:
\dot{Q}' \approx 23{,}78\times 6{,}28318 \approx 149{,}5\\ \mathrm{W/m}.
Arredondando:
\dot{Q}' \approx 150\\ \mathrm{W/m}.
Observação pedagógica: a condutividade do material do tubo ( 0{,}05\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}) foi fornecida, mas como a temperatura da face externa já é dada ( 40^\circ\mathrm{C}), não precisamos calcular a queda de temperatura através da espessura do tubo para encontrar o fluxo externo — o fluxo externo é determinado por h e a diferença entre a superfície externa e o ar. Se, em outro problema, a temperatura interna ou o fluxo interno fossem dados, aí sim a condutividade e a espessura seriam usadas para obter a temperatura externa antes de usar a convecção.

Resposta

h \approx 23{,}8\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}
\dot{Q}' \approx 150\\ \mathrm{W/m}

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