Questão 16) A constante de ionização do ácido benzóico \left(\mathrm{HC}_{7} \mathrm{H}_{5} \mathrm{O}_{2}\right) é 6,5 \times 10^{-5}. Calcule as concentrações no equilíbrio de \mathrm{H}_{3} \mathrm{O}^{+}, \mathrm{C}_{7} \mathrm{H}_{5} \mathrm{O}_{2}^{-}e \mathrm{HC}_{7} \mathrm{H}_{5} \mathrm{O}_{2} na solução contendo a concentração inicial de 0,05 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} de ácido benzóico. R: 1,8 \times 10-3 ; 1,8 \times 10-3 e 0,0482 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}.

Passo 1

O enunciado dá a constante de ionização do ácido benzóico e pede as concentrações no equilíbrio a partir de uma concentração inicial. Informações e perguntas claras:
  • Dado: constante de ionização K_a = 6,5\times10^{-5}.
  • Dado: concentração inicial do ácido benzóico \left(\mathrm{HC}_{7}\mathrm{H}_{5}\mathrm{O}_{2}\right) é 0,05\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}.
  • Pedidos: calcular as concentrações em equilíbrio de \mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}, de \mathrm{C}_{7}\mathrm{H}_{5}\mathrm{O}_{2}^{-} e de \mathrm{HC}_{7}\mathrm{H}_{5}\mathrm{O}_{2} (em \mathrm{mol}/\mathrm{L}).

Passo 2

Escrevendo a reação de ionização e montando a tabela ICE (Initial, Change, Equilibrium):
A reação é
\mathrm{HC}_{7}\mathrm{H}_{5}\mathrm{O}_{2} + \mathrm{H}_{2}\mathrm{O} \rightleftharpoons \mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+} + \mathrm{C}_{7}\mathrm{H}_{5}\mathrm{O}_{2}^{-}.
Definimos x como a quantidade (em \mathrm{mol}/\mathrm{L}) de ácido que se ioniza. Então:
  • inicial: [\mathrm{HC}_{7}\mathrm{H}_{5}\mathrm{O}_{2}] = 0,05, [\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}] \approx 0 (desprezível comparado ao que se forma), [\mathrm{C}_{7}\mathrm{H}_{5}\mathrm{O}_{2}^{-}] = 0.
  • variação: \mathrm{HC}_{7}\mathrm{H}_{5}\mathrm{O}_{2} diminui em x; \mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+} aumenta em x; \mathrm{C}_{7}\mathrm{H}_{5}\mathrm{O}_{2}^{-} aumenta em x.
  • equilíbrio:
[\mathrm{HC}_{7}\mathrm{H}_{5}\mathrm{O}_{2}] = 0,05 - x,\quad [\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}] = x,\quad [\mathrm{C}_{7}\mathrm{H}_{5}\mathrm{O}_{2}^{-}] = x.

Passo 3

Escrevendo a expressão da constante K_a e a equação que relaciona as incógnitas. Por definição,
K_a = \frac{[\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}]\,[\mathrm{C}_{7}\mathrm{H}_{5}\mathrm{O}_{2}^{-}]}{[\mathrm{HC}_{7}\mathrm{H}_{5}\mathrm{O}_{2}]}.
Substituindo os valores em equilíbrio:
K_a = \frac{x\cdot x}{0,05 - x} = \frac{x^{2}}{0,05 - x}.
Temos então a equação a resolver para x:
\frac{x^{2}}{0,05 - x} = 6,5\times10^{-5}.

Passo 4

Primeira abordagem (aproximação comum): se x for muito menor que 0,05, podemos aproximar 0,05 - x \approx 0,05. Isso simplifica muito e é válido quando a dissociação percentual é pequena (regra prática: se \dfrac{x}{0,05}<0,05, ou seja menos de 5\%). Com essa aproximação:
x^{2}\approx K_a\cdot 0,05.
Calculando o lado direito:
K_a\cdot 0,05 = 6,5\times10^{-5}\times 0,05 = 3,25\times10^{-6}.
Logo
x \approx \sqrt{3,25\times10^{-6}} = 1,8028\times10^{-3}\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}.
Verificação da regra dos 5\%:
\frac{x}{0,05}\approx\frac{1,8028\times10^{-3}}{0,05}=0,03606\approx 3,6\%<5\%,
portanto a aproximação é válida. Assim, pela aproximação obtemos [\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}]\approx 1,80\times10^{-3}\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L} e [\mathrm{C}_{7}\mathrm{H}_{5}\mathrm{O}_{2}^{-}]\approx 1,80\times10^{-3}\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}. A concentração do ácido não ionizado fica aproximadamente 0,05 - 1,8028\times10^{-3}=0,0481972\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}.

Passo 5

Solução exata (resolvendo a equação quadrática) para confirmar a aproximação. Reescrevendo a equação:
x^{2} = K_a(0,05 - x) \quad\Longrightarrow\quad x^{2} + K_a x - K_a\cdot 0,05 = 0.
Substituindo K_a=6,5\times10^{-5}:
x^{2} + (6,5\times10^{-5})x - 3,25\times10^{-6} = 0.
Usamos a fórmula de Bhaskara:
x = \frac{-b + \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a},
onde a=1, b=6,5\times10^{-5}, c=-3,25\times10^{-6}. O discriminante é
\Delta = b^{2}-4ac = (6,5\times10^{-5})^{2} - 4(1)(-3,25\times10^{-6}) = 4,225\times10^{-9} + 1,3\times10^{-5} = 1,3004225\times10^{-5}.
Tomando raiz:
\sqrt{\Delta}\approx 3,605\times10^{-3}.
Portanto
x = \frac{-(6,5\times10^{-5}) + 3,605\times10^{-3}}{2} \approx 1,770\times10^{-3}\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}.
Esse valor é muito próximo do obtido pela aproximação (diferença pequena por causa do pequeno termo b na fórmula). Assim as concentrações de equilíbrio são:
[\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}] = x \approx 1,77\times10^{-3}\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L},
[\mathrm{C}_{7}\mathrm{H}_{5}\mathrm{O}_{2}^{-}] = x \approx 1,77\times10^{-3}\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L},
[\mathrm{HC}_{7}\mathrm{H}_{5}\mathrm{O}_{2}] = 0,05 - x \approx 0,04823\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}.

Passo 6

Arredondando com notação e casas significativas compatíveis com os dados do enunciado (dois algarismos significativos em K_a e em 0,05):
[\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}] \approx 1,8\times10^{-3}\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L},
[\mathrm{C}_{7}\mathrm{H}_{5}\mathrm{O}_{2}^{-}] \approx 1,8\times10^{-3}\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L},
[\mathrm{HC}_{7}\mathrm{H}_{5}\mathrm{O}_{2}] \approx 0,0482\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}.

Resposta

1,8\times10^{-3}\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}
1,8\times10^{-3}\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}
0,0482\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}

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